Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik II Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.4 (4 Punkte)

Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet den Flächeninhalt

A

der Dreiecke

A_{n} B_{n} C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

.
Überprüfen Sie sodann, ob es unter den Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von

22

FE gibt.
[Teilergebnis:

A (x) = 2, 60 \cdot (- x^{2} + 5, 5 x)

FE]

Lösung zu Aufgabe A1.4

Flächeninhalt eines Dreiecks

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

β = 120^{\circ}

\bar{B_{n} C_{n}} = 6

A_{n} (x | \frac{1}{2} x - 1)

B_{n} (x | - x^{2} + 6 x - 1)

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

A B C

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}} \cdot \bar{B_{n} C_{n}} \cdot \sin β

A = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}} \cdot 6 \cdot \sin 120^{\circ}

A = 2, 60 \cdot \bar{A_{n} B_{n}}

Nun muss noch

\bar{A_{n} B_{n}}

berechnet werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Länge einer Strecke

Da die Punkte

A_{n}

und

B_{n}

die gleiche Abszisse (

x

-Wert) haben und die Punkte

B_{n}

oberhalb den Punkten

A_{n}

liegen, gilt:

\bar{A_{n} B_{n}} = y_{B_{n}} - y_{A_{n}}

\bar{A_{n} B_{n}} = y_{B_{n}} - y_{A_{n}}

\bar{A_{n} B_{n}} = - x^{2} + 6 x - 1 - (\frac{1}{2} x - 1)

\bar{A_{n} B_{n}} = - x^{2} + 6 x - 1 - \frac{1}{2} x + 1

\bar{A_{n} B_{n}} = - x^{2} + 5, 5 x

\Rightarrow

A (x) = 2, 60 \cdot (- x^{2} + 5, 5 x)

FE

Überprüfen, ob es unter den Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von

22

FE gibt:

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

A = 22

wird in die Gleichung

A = 2, 60 \cdot (- x^{2} + 5, 5 x)

eingesetzt.

Anschließend wird überprüft, ob sich die Gleichung nach

x

auflösen lässt.

2, 60 \cdot (- x^{2} + 5, 5 x) = 22

- 2, 60 x^{2} + 2, 60 \cdot 5, 5 x = 22

|

- 22

- 2, 60 x^{2} + 2, 60 \cdot 5, 5 x - 22 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Es reicht, nur die Diskriminante

D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c

zu überprüfen.

Falls die Diskriminante negativ ist, existiert keine Lösung.

D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c

D = (2, 60 \cdot 5, 5)^{2} - 4 \cdot (- 2, 60) \cdot (- 22) = - 24, 31 < 0

\Rightarrow

Es gibt kein Dreieck mit einem Flächeninhalt von

22

FE.

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Lösungen zu:

Aufgabe A1.1

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Aufgabe A1.4

Aufgabe A1.5

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Dreiecks

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