Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik II Aufgabe A1

Aufgabe A1.5 (2 Punkte)

Unter den Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

gibt es die Dreiecke

A_{4} B_{4} C_{4}

und

A_{5} B_{5} C_{5}

, in denen die Winkel

A_{4} C_{4} B_{4}

und

A_{5} C_{5} B_{5}

jeweils das Maß

γ = 25^{\circ}

haben.
Berechnen Sie die Länge der Seiten

[A_{4} B_{4}]

bzw.

[A_{5} B_{5}]

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zu Aufgabe A1.5

Länge einer Strecke

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Gegeben:

β = 120^{\circ}

γ = 25^{\circ}

\bar{B_{n} C_{n}} = 6

LE

Jetzt ist auch der Winkel

α

berechenbar.

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

α = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 25^{\circ} = 35^{\circ}

Im Dreieck

A_{4} B_{4} C_{4}

bzw.

A_{5} B_{5} C_{5}

kann der Sinussatz angewendet werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

\frac{\bar{A_{n} B_{n}}}{\sin γ} = \frac{\bar{B_{n} C_{n}}}{\sin α}

\frac{\bar{A_{n} B_{n}}}{\sin 25^{\circ}} = \frac{6}{\sin 35^{\circ}}

|

\cdot \sin 25^{\circ}

\bar{A_{n} B_{n}} = \frac{6 \cdot \sin 25^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{A_{4} B_{4}} = \bar{A_{5} B_{5}} = 4, 42

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