Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.2 (5 Punkte)

Stellen Sie die Koordinaten der Punkte

C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

M_{n}

dar und bestimmen Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen

h

der Punkte

C_{n}

.
[Teilergebnis:

C_{n} (3 x - 6 | - x + 6)

]

Lösung zu Aufgabe A2.2

Koordinaten von Punkten ermitteln

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

A (0 | 0)

M_{n} (x | - 2 x + 6)

Gesucht:

C_{n}

Vorüberlegung: Wie kommt man von

M_{n}

nach

C_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Drehmatrix

\vec{A C_{n}}

\vec{C_{n}}

) erhält man durch Drehung von

\vec{A M_{n}}

A

mit dem Drehwinkel

45^{\circ}

.

Ist

α

der Drehwinkel einer Drehung um den Ursprung, so lautet die entsprechende Drehmatrix:

(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

\vec{A M_{n}}

=

(\binom{x}{- 2 x + 6}) - (\binom{0}{0})

=

(\binom{x}{- 2 x + 6})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \cos 45^{\circ} & - \sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} x \\ - 2 x + 6 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} & - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} x \\ - 2 x + 6 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} x - \frac{1}{2} \sqrt{2} (- 2 x + 6) \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} x + \frac{1}{2} \sqrt{2} (- 2 x + 6) \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Zentrische Streckung

\vec{A C_{n}}

hat aber nicht die gleiche Länge wie

\vec{A M_{n}}

.

Spiegelt man das Dreieck

A B_{n} C_{n}

A B_{n}

, so erhält man ein Quadrat mit der Seitenlänge

a = \bar{A C_{n}}

Die Diagonale

[A B_{n}]

dieses Quadrates besitzt die Länge

\bar{A B_{n}} = \sqrt{2} a

(Pythagoras!).

\Rightarrow

\bar{A M_{n}}

=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} a

=

\frac{\sqrt{2}}{2} a

=

2^{\frac{1}{2} - 1} a

=

2^{- \frac{1}{2}} a

=

\frac{1}{\sqrt{2}} a

Also muss

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

noch um den Faktor

\sqrt{2}

gestreckt werden, um die gewünschte Länge

a = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} a

zu erhalten.

(\begin{matrix} x^{''} \\ y^{''} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} \frac{1}{2} \sqrt{2} x - \frac{1}{2} \sqrt{2} (- 2 x + 6) \\ \frac{1}{2} \sqrt{2} x + \frac{1}{2} \sqrt{2} (- 2 x + 6) \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{''} \\ y^{''} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} x - (- 2 x + 6) \\ x + (- 2 x + 6) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 3 x - 6 \\ - x + 6 \end{matrix})

\Rightarrow

C_{n} (3 x - 6 | - x + 6)

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

C_{n} (3 x - 6 | - x + 6)

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

M_{n}

Gesucht: Trägergraph

h : y =

Schritt einblenden / ausblenden

Trägergraphen

Die

x

-Koordinate

x^{*} = 3 x - 6

von

C_{n}

wird nach

x

aufgelöst.

Anschließend wird der Term in die

y

-Koordinate von

C_{n}

eingesetzt.

x^{*} = 3 x - 6

|

+ 6

x^{*} + 6 = 3 x

|

: 3

\frac{x^{*} + 6}{3} = x

y^{*} = - x + 6

y^{*} = - (\frac{x^{*} + 6}{3}) + 6

=

- \frac{1}{3} \cdot (x^{*} + 6) + 6

=

- \frac{1}{3} x^{*} + 4

\Rightarrow

h : y = - \frac{1}{3} x + 4

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Themen dieser Aufgabe:

Koordinaten von Punkten ermitteln

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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