Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.3 (3 Punkte)

Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt

A

der Dreiecke

A B_{n} C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

M_{n}

gilt:

A (x) = (5 x^{2} - 24 x + 36)

FE.

Lösung zu Aufgabe A2.3

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Gesucht: Flächeninhalt

A

der Dreiecke

A B_{n} C_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Da die Dreiecke

A B_{n} C_{n}

bei

C_{n}

rechtwinklig sind, sind Grundlinie und Höhe die beiden Katheten

[A C_{n}]

und

[B_{n} C_{n}]

.

Da die Dreiecke

A B_{n} C_{n}

ebenso gleichschenklig sind, gilt:

\bar{B_{n} C_{n}} = \bar{A C_{n}}

A = \frac{1}{2} \cdot \bar{A C_{n}} \cdot \bar{B_{n} C_{n}}

A = \frac{1}{2} \cdot {\bar{A C_{n}}}^{2}

\vec{A C_{n}} = \vec{C_{n}} = (\binom{3 x - 6}{- x + 6})

(aus Teilaufgabe 2.2)

Schritt einblenden / ausblenden

Länge eines Vektors

Der Betrag (Länge) eines Vektors

\vec{v} = (\binom{x}{y})

wird wie folgt berechnet:

| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

\bar{A C_{n}} = \sqrt{(3 x - 6)^{2} + (- x + 6)^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Binomische Formel

Zweite binomische Formel:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(- x + 6)^{2} = (6 - x)^{2}

\bar{A C_{n}} = \sqrt{9 x^{2} - 36 x + 36 + x^{2} - 12 x + 36}

\bar{A C_{n}} = \sqrt{10 x^{2} - 48 x + 72}

A = \frac{1}{2} \cdot {\bar{A C_{n}}}^{2}

A = \frac{1}{2} \cdot {\sqrt{10 x^{2} - 48 x + 72}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (10 x^{2} - 48 x + 72) = 5 x^{2} - 24 x + 36

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Flächeninhalt eines Dreiecks

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