Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.1 (2 Punkte)

Eine Rakete hat eine Startmasse von

22, 0

t. Bis diese Rakete eine Geschwindigkeit von

9, 5 \frac{km}{s}

erreicht, hat sich die Masse auf

4, 0

t verringert.

Zeigen Sie, dass gilt:

k = 5, 54

Lösung zu Aufgabe B1.1

Exponentielles Wachstum

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Gegeben ist die Startmasse

y_{0} = 22, 0

t, die Geschwindigkeit

x = 9, 5 \frac{km}{s}

und die veränderte Masse

y = 4, 0

t.

Gesucht ist die Ausströmgeschwindigkeit

k

Schritt einblenden / ausblenden

Exponentielles Wachstum

Die Werte für

y_{0}, x

und

y

, die aus der Angabe zu entnehmen sind, werden in die Gleichung

y = y_{0} \cdot 0, 37^{\frac{x}{k}}

eingesetzt.

Anschließend wird die Gleichung nach

k

aufgelöst.

y = y_{0} \cdot 0, 37^{\frac{x}{k}}

4 = 22 \cdot 0, 37^{\frac{9, 5}{k}}

|

: 22

\frac{4}{22} = 0, 37^{\frac{9, 5}{k}}

|

\log_{0, 37}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

0, 37^{\frac{9, 5}{k}}

kann durch den Logarithmus

\log_{0, 37}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8 \Leftrightarrow \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8 \Leftrightarrow x = \log_{2} 8

\log_{0, 37} \frac{4}{22} = \frac{9, 5}{k}

|

\cdot k

k \cdot \log_{0, 37} \frac{4}{22} = 9, 5

|

: \log_{0, 37} \frac{4}{22}

k = \frac{9, 5}{\log_{0, 37} \frac{4}{22}}

\Rightarrow

k \approx 5, 54

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Exponentielles Wachstum

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