Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.6 (4 Punkte)

Durch eine Verbesserung der Raketentechnik erhöht sich die Ausströmgeschwindigkeit

k \frac{km}{s}

auf

10 \frac{km}{s}

. Eine Rakete mit dieser Raketentechnik hat nur noch

80 %

der Startmasse der Rakete aus 1.1.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit

x \frac{km}{s}

, bei der beide Raketen die gleiche Masse besitzen.

Lösung zu Aufgabe B1.6

Exponentielles Wachstum

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Gegeben:

k_{n e u} = 10

y_{0} = 22, y = 22 \cdot 0, 37^{\frac{x}{5, 54}}

(bekannt aus Aufgabe 1.1)

Neue Startmasse

y_{0} = 80 % \cdot 22 = 0, 8 \cdot 22 = 17, 6

Gesucht:

x

Neue Rakete:

y = 17, 6 \cdot 0, 37^{\frac{x}{10}}

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichsetzen

Man soll die Geschwindigkeit ermitteln bei der die Raketen die gleiche Masse haben. Deswegen werden die Funktionen gleichgesetzt und nach

x

aufgelöst.

22 \cdot 0, 37^{\frac{x}{5, 54}} = 17, 6 \cdot 0, 37^{\frac{x}{10}}

|

: (22 \cdot 0, 37^{\frac{x}{10}})

\frac{0, 37^{\frac{x}{5, 54}}}{0, 37^{\frac{x}{10}}} = \frac{17, 6}{22}

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzen mit gleicher Basis

Rechneregel für Potenzen mit gleicher Basis:

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

Hier ist

a = 0, 37

0, 37^{\frac{x}{5, 54} - \frac{x}{10}} = \frac{17, 6}{22}

|

\log_{0, 37}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

0, 37^{\frac{x}{5, 54} - \frac{x}{10}}

kann durch den Logarithmus

\log_{0, 37}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8 \Leftrightarrow \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8 \Leftrightarrow x = \log_{2} 8

\frac{x}{5, 54} - \frac{x}{10} = \log_{0, 37} \frac{17, 6}{22}

Schritt einblenden / ausblenden

Ausklammern

x

in beiden Brüchen auf der linken Seite vorkommt, wird es ausgeklammert.

x \cdot (\frac{1}{5, 54} - \frac{1}{10}) = \log_{0, 37} \frac{17, 6}{22}

|

: (\frac{1}{5, 54} - \frac{1}{10})

x = \frac{\log_{0, 37} \frac{17, 6}{22}}{\frac{1}{5, 54} - \frac{1}{10}}

x \approx 2, 8

Antwort:
Bei einer Geschwindigkeit von

2, 8 \frac{km}{s}

besitzen die beiden Raketen die gleiche Masse.

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Themen dieser Aufgabe:

Exponentielles Wachstum

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