Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.2 (3 Punkte)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Definitionsmenge für die Abszissen

x

der Punkte

B_{n}

, sodass Rauten

A B_{n} C_{n} D_{n}

entstehen.

Lösung zu Aufgabe B2.2

Definitionsmenge für Abszissen bestimmter Punkte

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Die Punkte

B_{n}

sind die Schnittpunkte der Diagonalen

B_{n} D_{n}

mit der Hyperbel

k

.

Es entstehen keine Rauten

A B_{n} C_{n} D_{n}

mehr, wenn

A

B_{n}

und

D_{n}

auf einer Geraden

l

liegen.

Deshalb wird zuerst eine Gleichung für diese Gerade

l

gesucht.

Schritt einblenden / ausblenden

Senkrechte Strecken

In jeder Raute gilt, dass die beiden Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.

Nun gilt, dass das Produkt der Steigungen der beiden Diagonalen -1 ergibt, also:

m_{l} \cdot m_{g} = - 1

m_{l} \cdot m_{g} = - 1

m_{l} \cdot 1 = - 1

m_{l} = - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Mit dem Punkt

A (- 2 | - 2)

und der Steigung

m_{l} = - 1

kann mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form

y = m_{l} \cdot (x - x_{A}) + y_{A}

die Gleichung für

l

berechnet werden.

l :

y = m_{l} \cdot (x - x_{A}) + y_{A}

l :

y = - 1 \cdot (x - (- 2)) + (- 2)

l :

y = - x - 4

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichsetzen

Um die

x

-Werte der Schnittpunkte

B_{n}

von

l

und

k

zu berechnen, werden die Gleichungen von

l

und

k

gleichgesetzt.

- x - 4 = - 3 x^{- 1} - 1

|

+ 3 x^{- 1} + 1

- x - 3 + 3 x^{- 1} = 0

|

\cdot x

- x^{2} - 3 x + 3 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}

x_{1, 2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{- 2}

x_{1} = - 3, 79

x_{2} = 0, 79

x_{1} = - 3, 79

ist nicht in der Grundmenge enthalten.

\Rightarrow

D = {x | x > 0, 79}

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Definitionsmenge für Abszissen bestimmter Punkte

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