Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.4 (4 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte

D_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

B_{n}

.
Bestimmen Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen

h

der Eckpunkte

D_{n}

.
[Teilergebnis:

D_{n} (- 3 x^{- 1} - 1 | x)

]

Lösung zu Aufgabe B2.4

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

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Die Punkte

D_{n}

entstehen durch Spiegelung der Punkte

B_{n}

an der Ursprungsgerade

g

.

Gegeben:

B_{n} (x | - 3 x^{- 1} - 1)

Schritt einblenden / ausblenden

Spiegelung

Der Winkel von

90^{\circ}

in der Spiegelungsmatrix ist das Doppelte des

45^{\circ}

-Winkels, den die Spiegelungsgerade mit der

x

-Achse einschließt.

Allgemein:
Ist

α

der Winkel, den die Spiegelungsgerade mit der x-Achse einschließt , so lautet die entsprechende Spiegelungsmatrix:

(\begin{matrix} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} \cos 90^{\circ} & \sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & - \cos 90^{\circ} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} x \\ - 3 x^{- 1} - 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} x \\ - 3 x^{- 1} - 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

=

(\begin{matrix} 0 \cdot x + 1 \cdot (- 3 x^{- 1} - 1) \\ 1 \cdot x + 0 \cdot (- 3 x^{- 1} - 1) \end{matrix})

=

(\begin{matrix} - 3 x^{- 1} - 1 \\ x \end{matrix})

\Rightarrow

D_{n} (- 3 x^{- 1} - 1 | x)

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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Gegeben:

D_{n} (- 3 x^{- 1} - 1 | x)

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

B_{n}

Gesucht: Trägergraph

h : y =

Schritt einblenden / ausblenden

Trägergraphen

Die

x

-Koordinate

- 3 x - 1

von

D_{n}

wird nach

x

aufgelöst.

Anschließend wird der Term in die

y

-Koordinate von

D_{n}

eingesetzt.

x^{'} = - 3 x^{- 1} - 1

|

+ 1

x^{'} + 1 = - 3 x^{- 1}

|

: (- 3)

\frac{x^{'} + 1}{- 3} = x^{- 1}

|

Kehrbruch

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregeln

Kehrbruch

Es gilt immer:

x^{- 1} = \frac{1}{x}

Um nach

x

aufzulösen, wird auf beiden Seiten der Gleichung der Kehrbruch angewendet.

\frac{- 3}{x^{'} + 1} = x

y^{'} = x = \frac{- 3}{x^{'} + 1}

\Rightarrow

h : y = \frac{- 3}{x + 1}

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Themen dieser Aufgabe:

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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