Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.3 (3 Punkte)

Berechnen Sie die Innenwinkelmaße der Raute

A B_{1} C_{1} D_{1}

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

Lösung zu Aufgabe B2.3

Innenwinkel eines Dreiecks

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Gegeben:

A (- 2 | - 2)

B_{1} (2 | - 2, 5)

und

\vec{A C}

(Richtungsvektor von

g

)

Man berechnet zuerst den Winkel

φ = ∡ B_{1} A C_{1}

, den die Vektoren

\vec{A B_{1}}

und

\vec{A C}

einschließen.

\vec{A B_{1}} = (\binom{2 - (- 2)}{- 2, 5 - (- 2)}) = (\binom{4}{- 0, 5})

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Den Winkel

α

zwischen zwei Vektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

berechnet man mit der Formel:

\cos α = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{\vec{| u |} \cdot \vec{| v |}}

Beispiel:

\vec{u} = (\binom{0}{3})

\vec{v} = (\binom{2}{1})

\cos α = \frac{(\binom{0}{3}) \circ (\binom{2}{1})}{| (\binom{0}{3}) | \cdot | (\binom{2}{1}) |}

\cos α = \frac{0 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{\sqrt{0^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 1^{2}}}

\frac{3}{3 \sqrt{5}}

\frac{1}{\sqrt{5}}

\Rightarrow

α = \cos^{- 1} \frac{1}{\sqrt{5}} = 63, 43^{\circ}

\cos φ = \frac{\vec{A B_{1}} \circ \vec{A C}}{\bar{A B_{1}} \cdot \bar{A C}}

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

\vec{A C}

ist der Richtungsvektor von

g

.

Der

x

-Wert des Richtungsvektors einer Geraden ist

1

, der

y

-Wert des Richtungsvektors ist die Steigung der Geraden.

\cos φ = \frac{(\binom{4}{- 0, 5}) \circ (\binom{1}{1})}{| (\binom{4}{- 0, 5}) | \cdot | (\binom{1}{1}) |}

\cos φ = \frac{4 \cdot 1 + (- 0, 5) \cdot 1}{\sqrt{4^{2} + (- 0, 5)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2}}}

\frac{3, 5}{\sqrt{16, 25} \cdot \sqrt{2}}

\Rightarrow

φ = 52, 13^{\circ}

\Rightarrow

∡ B_{1} A D_{1} = 2 \cdot 52, 13^{\circ} = 104, 26^{\circ}

\Rightarrow

∡ D_{1} C_{1} B_{1} = 104, 26^{\circ}

\Rightarrow

∡ C_{1} B_{1} A = \frac{360^{\circ} - 2 \cdot 104, 26^{\circ}}{2} = 75, 74^{\circ}

\Rightarrow

∡ A D_{1} C_{1} = 75, 74^{\circ}

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Innenwinkel eines Dreiecks

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