Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.

Das gleichschenklige Trapez

A B C D

hat die parallelen Seiten

[A B]

und

[C D]

mit

\bar{A B} = 16

cm und

\bar{C D} = 9

cm . Der Mittelpunkt der Seite

[C D]

ist der Punkt

E

, der Mittelpunkt der Seite

[A B]

ist der Punkt

F

. Es gilt:

\bar{E F} = 7

cm .
Das gleichschenklige Trapez

A B C D

ist die Grundfläche einer Pyramide

A B C D S

, deren Spitze

S

senkrecht über dem Punkt

E

liegt. Es gilt:

\bar{E S} = 10

cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe A2.1 (2 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide

A B C D S

, wobei die Punkte

E

und

F

auf der Schrägbildachse liegen sollen.
Für die Zeichnung gilt:

q = \frac{1}{2}

;

ω = 45^{\circ}

Aufgabe A2.2 (2 Punkte)

Berechnen Sie das Maß

φ

des Winkels

S F E

und die Länge der Strecke

[S F]

.
[Ergebnisse:

φ = 55, 01^{\circ}

;

\bar{S F} = 12, 21

cm]

Aufgabe A2.3 (1 Punkt)

Punkte

M_{n}

liegen auf der Strecke

[S F]

. Die Punkte

M_{n}

sind die Mittelpunkte der Trapezseiten

[P_{n} Q_{n}]

von Trapezen

D C Q_{n} P_{n}

mit

P_{n} \in [A S]

und

Q_{n} \in [B S]

. Die Winkel

F E M_{n}

haben das Maß

ε

mit

ε \in [0^{\circ}, 90^{\circ} [

.
Zeichnen Sie das Trapez

D C Q_{1} P_{1}

für

ε = 65^{\circ}

in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken

[S M_{n}]

in Abhängigkeit von

ε

gilt:

\bar{S M_{n}} (ε) = \frac{10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

cm.

Aufgabe A2.5 (5 Punkte)

Das Trapez

D C Q_{2} P_{2}

ist ein Rechteck.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

ε

.
[Teilergebnis:

\bar{P_{n} Q_{n}} (ε) = \frac{13, 10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

cm]

Aufgabe A2.6 (4 Punkte)

Unter den Höhen

[E M_{n}]

der Trapeze

D C Q_{n} P_{n}

hat die Höhe

[E M_{0}]

des Trapezes

D C Q_{0} P_{0}

die minimale Länge.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

ε

.
Ermitteln Sie sodann durch Rechnung, in welchem Verhältnis das Volumen der Pyramide

A B C D S

durch die von den Eckpunkten des Trapezes

D C Q_{0} P_{0}

festgelegte Ebene geteilt wird.

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Lösungen zu:

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