Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.5 (5 Punkte)

Das Trapez

D C Q_{2} P_{2}

ist ein Rechteck.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

ε

.
[Teilergebnis:

\bar{P_{n} Q_{n}} (ε) = \frac{13, 10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

cm]

Lösung zu Aufgabe A2.5

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Betrachtet werden die Dreiecke

A B S

und

P_{n} Q_{n} S

mit

\bar{A B} = 16

cm ,

\bar{S F} = 12, 21

cm und

\bar{S M_{n}} = \frac{10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

cm.

Mit dem Vierstreckensatz wird die Länge der Strecke

[P_{n} Q_{n}]

bestimmt:

Schritt einblenden / ausblenden

Vierstreckensatz

Werden zwei Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gilt zwischen den Strecken z.B folgende Beziehung:

\frac{\bar{A C}}{\bar{A^{'} C^{'}}} = \frac{\bar{Z B}}{\bar{Z B^{'}}}

In diesem Fall gilt also:

\frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{\bar{A B}} = \frac{\bar{S M_{n}}}{\bar{S F}}

\frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{\bar{A B}} = \frac{\bar{S M_{n}}}{\bar{S F}}

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

\frac{\bar{S M_{n}}}{\bar{S F}} = \frac{1}{\bar{S F}} \cdot \bar{S M_{n}} = \frac{1}{12, 21} \cdot \frac{10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

\frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{\bar{A B}} = \frac{\bar{S M_{n}}}{\bar{S F}}

\frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{16} = \frac{10 \cdot \cos ε}{12, 21 \cdot \sin (55, 01^{\circ} + ε)}

|

\cdot 16

\bar{P_{n} Q_{n}} = \frac{16 \cdot 10 \cdot \cos ε}{12, 21 \cdot \sin (55, 01^{\circ} + ε)}

\Rightarrow

\bar{P_{n} Q_{n}} \approx \frac{13, 10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

Winkel bestimmen

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Das Trapez

D C Q_{2} P_{2}

ist ein Rechteck.

Es muss also gelten:

\bar{D C} = \bar{P_{2} Q_{2}}

\underset{\bar{D C}}{\underset{︸}{9}} = \underset{P_{n} Q_{n}}{\underset{︸}{\frac{13, 10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}}}

|

\cdot \sin (55, 01^{\circ} + ε)

9 \cdot \sin (55, 01^{\circ} + ε) = 13, 10 \cdot \cos ε

|

Additionstheorem anwenden

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \sin β \cos α

9 \cdot (\sin 55, 01^{\circ} \cdot \cos ε + \cos 55, 01^{\circ} \cdot \sin ε) = 13, 10 \cdot \cos ε

|

Klammer auflösen

9 \cdot \sin 55, 01^{\circ} \cdot \cos ε + 9 \cdot \cos 55, 01^{\circ} \cdot \sin ε = 13, 10 \cdot \cos ε

|

- 9 \sin 55, 01^{\circ} \cdot \cos ε

9 \cdot \cos 55, 01^{\circ} \cdot \sin ε = 13, 10 \cdot \cos ε - 9 \sin 55, 01^{\circ} \cdot \cos ε

|

\cos ε

ausklammern

Schritt einblenden / ausblenden

Für den Winkel

ε

gilt:

ε \in [0^{\circ}; 90^{\circ} [

(siehe Teilaufgabe 2.3)

Somit ist

\cos ε \neq 0

und die Gleichung darf durch

\cos ε

geteilt werden.

9 \cdot \cos 55, 01^{\circ} \cdot \sin ε = \cos ε \cdot (13, 10 - 9 \sin 55, 01^{\circ})

|

: \underset{\neq 0}{\underset{︸}{(\cos ε)}}

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Für den Tangens eines Winkels

α

gilt die Beziehung:

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}

9 \cdot \cos 55, 01^{\circ} \cdot \underset{\tan ε}{\underset{︸}{\frac{\sin ε}{\cos ε}}} = 13, 10 - 9 \sin 55, 01^{\circ}

|

: (9 \cdot \cos 55, 01^{\circ})

\tan ε = \frac{13, 10 - 9 \sin 55, 01^{\circ}}{9 \cdot \cos 55, 01^{\circ}}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel berechnen

Um den Winkel

ε

aus

\tan ε = \frac{13, 10 - 9 \sin 55, 01^{\circ}}{9 \cdot \cos 55, 01^{\circ}}

zu bestimmen, wird im Taschenrechner (TR) folgendes eingegeben:

TR:

\frac{13, 10 - 9 \sin 55, 01^{\circ}}{9 \cdot \cos 55, 01^{\circ}}

\to

SHIFT

\to

\tan

ε = \tan^{- 1} (\frac{13, 10 - 9 \sin 55, 01^{\circ}}{9 \cdot \cos 55, 01^{\circ}})

\Rightarrow

ε \approx 47, 97^{\circ}

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Lösungen zu:

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Aufgabe A2.5

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Seite eines Dreiecks bestimmen

Winkel bestimmen

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