Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken

[S M_{n}]

in Abhängigkeit von

ε

gilt:

\bar{S M_{n}} (ε) = \frac{10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

cm.

Lösung zu Aufgabe A2.4

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Betrachtet wird das Dreieck

S M_{n} E

, dass im rechtwinkligen Dreieck

E F S

enhalten ist.

Es gilt:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Winkel

∡ F E S

ist gleich

90^{\circ}

∡ M_{n} E S = 90^{\circ} - ε

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Im Dreieck

E F S

gilt somit:

∡ E S F + 90^{\circ} + φ = 180^{\circ}

∡ E S F = 180^{\circ} - 90^{\circ} - φ = 90^{\circ} - φ

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Im Dreieck

S M_{n} E

gilt somit:

∡ S M_{n} E + (90^{\circ} - ε) + (90^{\circ} - φ) = 180^{\circ}

\Rightarrow

∡ S M_{n} E = 180^{\circ} - (90^{\circ} - ε) - (90^{\circ} - φ) = φ + ε

Länge der Strecke

[S M_{n}]

mit dem Sinussatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Im Dreieck

S M_{n} E

gilt somit:

\frac{\bar{S M_{n}}}{\sin ∡ M_{n} E S} = \frac{\bar{E S}}{\sin ∡ S M_{n} E}

\Leftrightarrow

\frac{\bar{S M_{n}}}{\bar{E S}} = \frac{\sin ∡ M_{n} E S}{\sin ∡ S M_{n} E}

\frac{\bar{S M_{n}}}{\bar{E S}} = \frac{\sin ∡ M_{n} E S}{\sin ∡ S M_{n} E}

\frac{\bar{S M_{n}}}{10} = \frac{\sin (90^{\circ} - ε)}{\sin (φ + ε)}

|

\cdot 10

\bar{S M_{n}} = \frac{10 \cdot \sin (90^{\circ} - ε)}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

Schritt einblenden / ausblenden

Komplementbeziehung

Für einen Winkel

α

gilt stets die Komplementbeziehung:

\sin (90^{\circ} - α) = \cos α

Folgt auch über das Additionstheorem:

\sin (90^{\circ} - α) = \underset{1}{\underset{︸}{\sin 90^{\circ}}} \cdot \cos α - \sin α \cdot \underset{0}{\underset{︸}{\cos 90^{\circ}}} = \cos α

\Rightarrow

\bar{S M_{n}} = \frac{10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

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Lösungen zu:

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