Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik II Aufgabe B1

Aufgabe B1.

Die Parabel

p_{1}

mit der Gleichung

y = x^{2} - 8 x + 14

hat den Scheitel

S_{1} (4 | - 2)

. Die Parabel

p_{2}

besitzt den Scheitel

S_{2} (6 | 7)

und verläuft durch den Punkt

P (9 | 4, 75)

. Sie hat eine Gleichung der Form

y = a x^{2} + b x + c

mit

a \in ℝ ∖ {0}

;

b, c \in ℝ

. (

𝔾 = ℝ \times ℝ

)

Aufgabe B1.1 (5 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel

p_{2}

in der Scheitelform und bringen Sie die Gleichung in die Form

y = a x^{2} + b x + c

mit

a \in ℝ

;

b, c \in ℝ

. Erstellen Sie sodann für die Parabel

p_{2}

eine Wertetabelle für

x \in [0; 10]

mit

▵ x = 1

und zeichnen Sie die Parabeln

p_{1}

und

p_{2}

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

- 2 ≦ x ≦ 11

;

- 3 ≦ y ≦ 8

.
[Ergebnis:

p_{2} : y = - 0, 25 x^{2} + 3 x - 2

]

Aufgabe B1.2 (2 Punkte)

Punkte

A_{n} (x | x^{2} - 8 x + 14)

auf der Parabel

p_{1}

und Punkte

B_{n} (x | - 0, 25^{2} + 3 x - 2)

auf der Parabel

p_{2}

haben dieselbe Abszisse

x

. Sie sind zusammen mit Punkten

C_{n}

die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

mit der Basis

[A_{n} B_{n}]

, wobei gilt:

y_{A_{n}} < y_{B_{n}}

. Die

x

-Koordinate der Punkte

C_{n}

ist um 4 kleiner als die Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

.
Zeichnen Sie die Dreiecke

A_{1} B_{1} C_{1}

für

x = 3

und

A_{2} B_{2} C_{2}

für

x = 6, 5

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Aufgabe B1.3 (2 Punkte)

Ermitteln Sie durch Rechnung, für welche Belegungen von

x

es Dreiecke

A_{n} B_{n} C_{n}

gibt. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B1.4 (5 Punkte)

Unter den Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

besitzt das Dreieck

A_{0} B_{0} C_{0}

den maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks

A_{0} B_{0} C_{0}

und geben Sie die Koordinaten des Punktes

C_{0}

an.
[Teilergebnis:

\bar{A_{n} B_{n}} (x) = (- 1, 25 x^{2} + 11 x - 16)

LE ]

Aufgabe B1.5 (3 Punkte)

Für

x = 4

ergibt sich das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

.
Zeichnen Sie das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und begründen Sie, dass das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

rechtwinklig ist.

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Lösungen zu:

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