Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.5 (3 Punkte)

Für

x = 4

ergibt sich das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

.
Zeichnen Sie das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und begründen Sie, dass das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

rechtwinklig ist.

Lösung zu Aufgabe B1.5

Skizze

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Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

für

x = 4

einzeichnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

A_{n} (x | x^{2} - 8 x + 14) \in p_{1} \Rightarrow A_{3} (4 | - 2)

B_{n} (x | - 0, 25 x^{2} + 3 x - 2) \in p_{2} \Rightarrow B_{3} (4 | 6)

Der Punkt

C_{3}

liegt 4 Längeneinheiten weiter links als die Punkte

A_{3}

und

B_{3}

. Seine

x

-Koordinate ist somit

x = 4 - 4 = 0

.
Durch Ausmessen der Länge der Seite

[A_{3} B_{3}]

und Teilen dieser Länge durch 2, findet man dessen Mittelpunkt. Die

y

-Koordinate des Mittelpunktes entspricht der

y

-Koordinate von

C_{1}

Rechtwinkligkeit

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Das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

ist rechtwinklig.

Begründung (Thaleskreis):

Mit dem Teilergebnis von Aufgabe B 1.4 folgt:

\bar{A_{3} B_{3}} = - 1, 25 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 - 16 = 8

LE

Nach Aufgabe B 1.2 ist:

\bar{M C_{3}} = 4

,

mit

M

Mittelpunkt von

[A_{3} B_{3}]

Da das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

gleichschenklig ist (siehe Aufgabe B 1.2), teilt die Höhe

[M C_{3}]

die Grundseite in zwei gleichlange Strecken. Es gilt somit:

\bar{M C_{3}} = \bar{M A_{3}} = \bar{M B_{3}} = 4

LE

Es folgt daraus, dass der Punkt

C_{3}

auf eine Kreislinie um dem Mittelpunkt

M

mit dem Durchmesser

\bar{A_{3} B_{3}}

liegt. Das Dreieck

A_{3} B_{3} C_{3}

ist somit rechtwinklig.

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Aufgabe B1.3

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Skizze

Rechtwinkligkeit

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