Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.1 (5 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel

p_{2}

in der Scheitelform und bringen Sie die Gleichung in die Form

y = a x^{2} + b x + c

mit

a \in ℝ

;

b, c \in ℝ

. Erstellen Sie sodann für die Parabel

p_{2}

eine Wertetabelle für

x \in [0; 10]

mit

▵ x = 1

und zeichnen Sie die Parabeln

p_{1}

und

p_{2}

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

- 2 ≦ x ≦ 11

;

- 3 ≦ y ≦ 8

.
[Ergebnis:

p_{2} : y = - 0, 25 x^{2} + 3 x - 2

]

Lösung zu Aufgabe B1.1

Scheitelpunktform einer Parabel

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p_{2}

besitzt den Scheitel

S_{2} (6 | 7)

und verläuft durch den Punkt

P (9 | 4, 75)

.

Parameter der Scheitelpunktform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Scheitelform der Parabel

Die Scheitelpunktform (kurz: Scheitelform) ist die Funktionsgleichung einer Parabel. Sie hat die Form:

y = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}

x_{S}

und

y_{S}

sind die Koordinaten des Scheitels

S

der Parabel:

S (x_{S} | y_{S})

a

ist ein Parameter der einen Wert verschieden von Null hat.

Scheitelpunkt

S_{2}

einsetzen:

S_{2} (6 | 7)

\Rightarrow

y = a \cdot (x - 6)^{2} + 7

Punkt

P

einsetzen:

P (9 | 4, 75)

\Rightarrow

4, 75 = a \cdot (9 - 6)^{2} + 7

4, 75 = a \cdot (9 - 6)^{2} + 7

|

- 7

- 2, 25 = 9 a

|

: 9

\frac{- 2, 25}{9} = a

\Rightarrow

a = - 0, 25

Scheitelpunktform der Parabel

p_{2}

aufstellen:

p_{2} : y = - 0, 25 \cdot (x - 6)^{2} + 7

Markante Eigenschaften von Funktionen

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Scheitelpunktform auflösen (ausmultiplizieren):

y = - 0, 25 \cdot (x - 6)^{2} + 7

Schritt einblenden / ausblenden

Binomische Formel

Der Ausdruck

(x - 6)^{2}

wird mit der zweiten binomischen Formel aufgelöst:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(x - 6)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2} = x^{2} - 12 x + 36

y = - 0, 25 \cdot (x^{2} - 12 x + 36) + 7

y = - 0, 25 x^{2} + 3 x - 9 + 7

y = - 0, 25 x^{2} + 3 x - 2

(allgemeine Form)

Wertetabelle

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Wertetabelle für

p_{2}

(und für

p_{1}

) erstellen:

Skizze

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Themen dieser Aufgabe:

Scheitelpunktform einer Parabel

Markante Eigenschaften von Funktionen

Wertetabelle

Skizze

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