Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.1 (4 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas

A B C D E F

, wobei die Kante

[A B]

auf der Schrägbildachse liegen soll (Lage des Prismas wie in der Skizze zu 2.0 dargestellt).
Für die Zeichnung gilt:

q = \frac{1}{2}

;

ω = 45^{\circ}

.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke

[F E]

und das Maß des Winkels

A F E

.
[Ergebnis:

\bar{F E} = 10

cm;

∡ A F E = 50, 21^{\circ}

]

Lösung zu Aufgabe B2.1

Skizze

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Prisma

A B C D E F

einzeichnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einzeichnen

[A B]

mit

\bar{A B} = 6

cm einzeichnen

2)

[A D]

und

[B E]

im Winkel von

45^{\circ}

einzeichnen

Für die Zeichnung:

\bar{A D} = \bar{B E} = \frac{1}{2} \cdot 6

= 3

cm

3)

[A C]

und

[D F]

mit mit

\bar{A C} = \bar{D F} = 8

cm einzeichnen

4) Prisma

A B C D E F

verbinden

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{A B} = \bar{D E} = 6

cm;

\bar{A C} = \bar{D F} = 8

cm.

Gesucht:

\bar{F E}

Man betrachtet das rechtwinklige Dreieck

D E F

Schritt einblenden / ausblenden

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

{\bar{F E}}^{2} = {\bar{D E}}^{2} + {\bar{D F}}^{2}

{\bar{F E}}^{2} = 6^{2} + 8^{2}

|

\sqrt{}

\bar{F E} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}

\bar{F E} = 10

Winkel bestimmen

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Gesucht:

∡ A F E

Man betrachtet das Dreieck

A E F

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

In dem Dreieck

A E F

wurde die Seitenlänge

\bar{F E}

berechnet.

Im folgenden können die Seitenkängen

\bar{A E}

und

\bar{A F}

berechnet werden, um mit Hilfe des Kosinus Satzes den Winkel

∡ A F E

zu berechnen.

In diesem Dreieck wurde

\bar{F E} = 10

cm soeben berechnet.

Zudem kann

\bar{A E}

(= Diagonallänge des Quadrates

A B E D

) berechnet werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Länge einer Strecke

Die Länge der Diagonalen

d

in einem Quadrat mit der Seitenlänge

a

berechnet man mit der Formel:

d = a \cdot \sqrt{2}

\bar{A E} = \bar{A B} \cdot \sqrt{2}

\bar{A E} = 6 \cdot \sqrt{2}

Zudem kann

\bar{A F}

berechnet werden.

Dazu betrachtet man das rechtwinklige Dreieck

A D F

Schritt einblenden / ausblenden

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

{\bar{A F}}^{2} = {\bar{D F}}^{2} + {\bar{A D}}^{2}

{\bar{A F}}^{2} = 8^{2} + 6^{2}

|

\sqrt{}

\bar{A F} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}}

\bar{A F} = 10

Im Dreieck

A E F

sind nun alle drei Seitenlängen gegeben.

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

Es gilt:

{\bar{A E}}^{2} = {\bar{A F}}^{2} + {\bar{E F}}^{2} - 2 \cdot \bar{A F} \cdot \bar{E F} \cdot \cos ∡ A F E

{\bar{A E}}^{2} - {\bar{A F}}^{2} - {\bar{E F}}^{2} = - 2 \cdot \bar{A F} \cdot \bar{E F} \cdot \cos ∡ A F E

\cos ∡ A F E = \frac{{\bar{A E}}^{2} - {\bar{A F}}^{2} - {\bar{E F}}^{2}}{- 2 \cdot \bar{A F} \cdot \bar{E F}}

|

: (- 1)

\cos ∡ A F E = \frac{{\bar{A F}}^{2} + {\bar{E F}}^{2} - {\bar{A E}}^{2}}{2 \cdot \bar{A F} \cdot \bar{E F}}

\cos ∡ A F E = \frac{10^{2} + 10^{2} - (6 \sqrt{2})^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 10}

∡ A F E = \cos^{- 1} (\frac{10^{2} + 10^{2} - (6 \sqrt{2})^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 10})

∡ A F E \approx 50, 21^{\circ}

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Länge einer Strecke

Winkel bestimmen

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