Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.3 (2 Punkte)

Berechnen Sie die Länge der Strecken

[F Q_{n}]

in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

\bar{F Q_{n}} (φ) = \frac{10 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

cm]

Lösung zu Aufgabe B2.3

Länge einer Strecke

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Man betrachtet das Dreieck

F A Q_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Aufstellen des Sinussatzes mit anschließender Umformung um die Streckenlänge

\bar{F Q_{n}}

zu erhalten.

Gegeben:

\bar{A F} = 10

cm;

∡ A F E = 50, 21^{\circ}

Gesucht:

\bar{F Q_{n}}

Man betrachtet das Dreieck

F A Q_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Es gilt:

\frac{\bar{F Q_{n}}}{\bar{A F}} = \frac{\sin ∡ Q_{n} A F}{\sin φ}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

\frac{\bar{F Q_{n}}}{10} = \frac{\sin (180^{\circ} - (∡ A F E + φ))}{\sin φ}

\frac{\bar{F Q_{n}}}{10} = \frac{\sin (180^{\circ} - (50, 21^{\circ} + φ))}{\sin φ}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

\sin x = \sin (180^{\circ} - x)

\frac{\bar{F Q_{n}}}{10} = \frac{\sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

|

\cdot 10

\Rightarrow

\bar{F Q_{n}} (φ) = \frac{10 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

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