Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.4 (3 Punkte)

Die Punkte

Q_{n}

sind die Spitzen von Pyramiden

A D F Q_{n}

mit der Grundfläche

A D F

und den Höhen

[P_{n} Q_{n}]

. Die Punkte

P_{n}

liegen auf der Strecke

[D F]

.
Zeichnen Sie die Pyramide

A D F Q_{1}

und die Höhe

[P_{1} Q_{1}]

in das Schrägbild zu 2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen

V

der Pyramiden

A D F Q_{n}

in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

V (φ) = \frac{48 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

cm³]

Lösung zu Aufgabe B2.4

Skizze

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Pyramide

A D F Q_{1}

einzeichnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einzeichnen

[P_{1} Q_{1}]

parallel zu

[A B]

einzeichnen

2) Pyramide verbinden

Volumen einer Pyramide

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

\bar{A D} = 6

cm;

\bar{D F} = 8

cm;

\bar{D E} = 6

cm;

\bar{F E} = 10

cm

Gesucht:

V_{A D F Q_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{A D F Q_{n}} = \frac{1}{3} \cdot A_{Δ A D F} \cdot \bar{P_{n} Q_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Der Flächeninhalt

A

eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten

a

und

b

ist gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

V_{A D F Q_{n}} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{D F}) \cdot \bar{P_{n} Q_{n}}

V_{A D F Q_{n}} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8)

V_{A D F Q_{n}} = 8 \cdot \bar{P_{n} Q_{n}}

Zur Berechnung von

\bar{P_{n} Q_{n}}

werden die Dreiecke

F P_{n} Q_{n}

und

F D E

betrachtet.

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypothenuse α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Im Dreieck

F P_{n} Q_{n}

gilt:

\sin α = \frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{\bar{F Q_{n}}}

Im Dreieck

F D E

gilt:

\sin α = \frac{\bar{D E}}{\bar{F E}} = \frac{6}{10}

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichsetzen

Die beiden Ausdrücke für

\sin α

werden gleichgesetzt.

\frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{\bar{F Q_{n}}} = \frac{6}{10}

|

\cdot \bar{F Q_{n}}

\bar{P_{n} Q_{n}} = \frac{6}{10} \cdot \bar{F Q_{n}}

Aus Teilaufgabe 2.3:

\bar{F Q_{n}} (φ) = \frac{10 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

\bar{P_{n} Q_{n}} = \frac{6}{10} \cdot \frac{10 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

\bar{P_{n} Q_{n}} = \frac{6 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

V_{A D F Q_{n}} = 8 \cdot \bar{P_{n} Q_{n}}

V_{A D F Q_{n}} = 8 \cdot \frac{6 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

V_{A D F Q_{n}} (φ) = \frac{48 \cdot \sin (50, 21^{\circ} + φ)}{\sin φ}

cm³

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Lösungen zu:

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Aufgabe B2.3

Aufgabe B2.4

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Skizze

Volumen einer Pyramide

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