Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.6 (2 Punkte)

Die Höhe der Pyramide

A B E D Q_{3}

mit der Grundfläche

A B E D

hat das gleiche Maß wie die Höhe der Pyramide

A D F Q_{3}

. Begründen Sie, dass das Volumen der Pyramide

A B E D Q_{3}

1, 5

mal so groß ist wie das Volumen der Pyramide

A D F Q_{3}

Lösung zu Aufgabe B2.6

Volumen einer Pyramide

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Gegeben:

\bar{A B} = \bar{A D} = 6

cm;

\bar{D F} = 8

cm

Zum Vergleich der Pyramiden werden die Volumenformeln betrachtet.

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{A B E D Q_{3}} = \frac{1}{3} \cdot A_{A B E D} \cdot h

V_{A D F Q_{3}} = \frac{1}{3} \cdot A_{Δ A D F} \cdot h

Da die Höhen das gleiche Maß besitzen, wird nur eine Variable

h

verwendet.

Nun müssen also nur noch die Grundflächen verglichen werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

A_{A B E D} = \bar{A B} \cdot \bar{A D} = 6 \cdot 6 = 36

cm²

A_{Δ A D F} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{D F} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24

cm²

\frac{A_{A B E D}}{A_{A D F}} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} = 1, 5

\Rightarrow A_{A B E D} = 1, 5 \cdot A_{Δ A D F}

\Rightarrow V_{A B E D Q_{3}} = 1, 5 \cdot V_{A D F Q_{3}}

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Volumen einer Pyramide

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