Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Unter den Dreiecken

A B C_{n}

gibt es das gleichschenklige Dreieck

A B C_{3}

mit der Basis

[A B]

.
Ermitteln Sie das zugehörige Winkelmaß

φ

und begründen Sie durch Rechnung, dass das Dreieck

A B C_{3}

nicht gleichseitig ist.

Lösung zu Aufgabe A2.4

Winkel bestimmen

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Gegeben:

A (- 0, 5 | 1)

B (3, 5 | 1)

und

C_{n} (8 \cdot \cos φ - 1 | \frac{1}{\cos φ} + 2)

Gesucht:

C_{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt einer Strecke

[A B]

mit den Punkten

A (x_{A} | y_{A})

und

B (x_{B} | y_{B})

berechnet sich mit der Formel

M_{[A B]} = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2} | \frac{y_{A} + y_{B}}{2})

.

Da die Strecke

[A B]

Basis des gleichschenkligen Dreiecks

A B C_{3}

muss

x_{C_{3}}

genau die Mitte der Strecke

[A B]

sein.

x_{C_{3}} = \frac{- 0, 5 + 3, 5}{2} = 1, 5

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichsetzen

x_{C_{3}} = 1, 5

die Punkte

C_{n}

aber in Abhängigkeit von

φ

mit

x_{C_{n}} = 8 \cdot \cos φ - 1

berechnet werden, müssen die beiden Ausdrücke gleichgesetzt werden.

Es gilt:

8 \cdot \cos φ - 1 = 1, 5

8 \cdot \cos φ - 1 = 1, 5

| + 1

8 \cdot \cos φ = 2, 5

| : 8

\cos φ = 0, 3125

φ = \cos^{- 1} (0, 3125) = 71, 8^{\circ}

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Nun werden die Seitenlängen des Dreiecks

A B C_{3}

berechnet.

Gegeben:

\vec{A C_{n}} = (\binom{8 \cdot \cos φ - 0, 5}{\frac{1}{\cos φ} + 1})

| \vec{A B} | = x_{B} - x_{A} = 4 LE

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

\vec{A C_{3}}

ergibt sich, indem

φ = 71, 8^{\circ}

\vec{A C_{n}} = (\binom{8 \cdot \cos φ - 0, 5}{\frac{1}{\cos φ} + 1})

eingesetzt wird.

\vec{A C_{3}} = (\binom{8 \cdot \cos 71, 8^{\circ} - 0, 5}{\frac{1}{\cos 71, 8^{\circ}} + 1})

Schritt einblenden / ausblenden

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors

\vec{v}

mit

\vec{v} = (\binom{x}{y})

wird mit der folgenden Formel berechnet:

| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

| \vec{A C_{3}} |

\sqrt{(8 \cdot \cos 71, 8^{\circ} - 0, 5)^{2} + (\frac{1}{\cos 71, 8^{\circ}} + 1)^{2}}

| \vec{A C_{3}} |

4, 7 LE

Die Länge der Basis

[A B]

des gleichschenkligen Dreiecks ist also nicht längengleich zu der Länge des Schenkels

[A C_{3}]

, da

4 LE \neq 4, 7 LE

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Lösungen zu:

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Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

Aufgabe A2.4

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Winkel bestimmen

Seite eines Dreiecks bestimmen

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