Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.4 (2 Punkte)

Die Raute

A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}

ist ein Quadrat. Berechnen Sie die zugehörige

x

-Koordinate des Punktes

A_{3}

. Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe B1.4

Koordinaten von Punkten ermitteln

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Gegeben:

\bar{B_{n} D_{n}} = 6 LE

und

\bar{A_{n} C_{n}} = - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x^{2} - x) LE

Gesucht:

\bar{A_{3} C_{3}}

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften eines Quadrats

In einem Quadrat sind die Längen der Diagonalen gleich lang.

In unserem Fall gilt also:

\bar{B_{3} D_{3}} = \bar{A_{3} C_{3}}

und somit

\bar{A_{3} C_{3}} = 6 LE

- 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x^{2} - x) = 6 | : (- 1, 5)

\log_{0, 5} (x^{2} - x) = - 4 | entlogarithmieren

Schritt einblenden / ausblenden

Entlogarithmieren

Der Logarithmus

\log_{0, 5}

kann durch die Exponentialfunktion

0, 5^{x}

aufgehoben werden.

Beispiel:

\log_{0, 5} x = 1

\Leftrightarrow

{0, 5}^{\log_{0, 5} x} = {0, 5}^{1}

\Leftrightarrow

x = 0, 5

x^{2} - x = 0, 5^{- 4}

x^{2} - x = 16

| - 16

x^{2} - x - 16 = 0

| Mitternachstformel anwenden

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}

x_{1} \approx 4, 53

und

(x_{2} \approx - 3, 53)

x > 1, 62

\Rightarrow x_{A_{3}} = 4, 53

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