Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.2 (5 Punkte)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten der Punkte

C_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

B_{n}

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Ergebnis:

C_{n} (- 0, 20 x - 4, 80 | - 1, 10 x - 1, 40)

]

Lösung zu Aufgabe A2.2

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

A (5 | 2, 5)

D (- 1 | - 5, 5)

B_{n} (x | \frac{1}{2} x + 5)

Die Punkte

C_{n}

entstehen durch Spiegelung der Punkte

D_{n}

an der Symmetrieachse

s

.

Um die Spiegelungsmatrix anzuwenden, muss jedoch zuerst gezeigt werden, ob die Symmetrieachse

s

eine Ursprungsgerade ist.

Schritt einblenden / ausblenden

Ursprungsgerade

Eine Ursprungsgerade hat eine Gleichung der Form:

y = m \cdot x

Es gilt:

s ⊥ [A D]

Schritt einblenden / ausblenden

Senkrechte Geraden

Stehen zwei Geraden

g

und

h

senkrecht aufeinander, so ergibt das Produkt der beiden Steigungen

- 1

m_{g} \cdot m_{h} = - 1

m_{s} \cdot m_{A D} = - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung einer Geraden

Die Steigung

m

einer Geraden

A B

durch zwei Punkte

A (x_{A} | y_{A})

und

B (x_{B} | y_{B})

lässt sich wie folgt berechnen:

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

m_{A D} = \frac{y_{D} - y_{A}}{x_{D} - x_{A}} = \frac{- 5, 5 - 2, 5}{- 1 - 5} = \frac{4}{3}

m_{s} \cdot \frac{4}{3} = - 1

|

: \frac{4}{3}

\Rightarrow

m_{s} = - \frac{3}{4}

Sei

M

der Mittelpunkt der Strecke

[A D]

, der auch auf der Geraden

s

liegt.

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt

M

einer Strecke

[A B]

mit

A (x_{1} | y_{1})

und

B (x_{2} | y_{2})

ist gegeben durch:

M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} | \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

M (\frac{5 - 1}{2} | \frac{2, 5 - 5, 5}{2})

\Leftrightarrow

M (2 | - 1, 5)

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Mit dem Punkt

M (2 | - 1, 5)

und der Steigung

m_{s} = - \frac{3}{4}

kann mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form

y = m_{s} \cdot (x - x_{M}) + y_{M}

die Gleichung für

s

berechnet werden.

y = m_{s} \cdot (x - x_{M}) + y_{M}

y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 2) - 1, 5

\Rightarrow

s : y = - \frac{3}{4} x

\Rightarrow

Die Symmetrieachse

s

ist eine Ursprungsgerade.

Schritt einblenden / ausblenden

Spiegelung

Ist

α

der Winkel, den die Spiegelungsgerade mit der x-Achse einschließt , so lautet die entsprechende Spiegelungsmatrix:

(\begin{matrix} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{matrix})

Nun muss noch

α

berechnet werden.

Die Gerade

s

schließt mit der

x

-Achse den Winkel

α

ein.

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel berechnen

Der Winkel

α

, den eine Gerade

g : y = m x + t

mit der

x

-Achse einschließt, wird mit folgender Gleichung berechnet:

m = \tan α

Es gilt:

- \frac{3}{4} = \tan α

|

\tan^{- 1}

\Rightarrow

α = - 36, 87^{\circ}

|

\cdot 2

\Rightarrow

2 α = - 73, 74^{\circ}

Spiegelung der Punkte

B_{n}

an der Geraden

s

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

(\begin{matrix} \cos (- 73, 74^{\circ}) & \sin (- 73, 74^{\circ}) \\ \sin (- 73, 74^{\circ}) & - \cos (- 73, 74^{\circ}) \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} x \\ \frac{1}{2} x + 5 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Kosinus eines negativen Winkels

Sinus eines negativen Winkels

Sinus eines negativen Winkels:

\sin (- x) = - \sin x

Cosinus eines negativen Winkels:

\cos (- x) = \cos x

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

(\begin{matrix} \cos 73, 74^{\circ} & - \sin 73, 74^{\circ} \\ - \sin 73, 74^{\circ} & - \cos 73, 74^{\circ} \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} x \\ \frac{1}{2} x + 5 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})

(\begin{matrix} 0, 28 & - 0, 96 \\ - 0, 96 & - 0, 28 \end{matrix})

\circ

(\begin{matrix} x \\ \frac{1}{2} x + 5 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

x^{'} = 0, 28 x - 0, 96 \cdot (\frac{1}{2} x + 5) = - 0, 2 x - 4, 8

y^{'} = - 0, 96 x - 0, 28 \cdot (\frac{1}{2} x + 5) = - 1, 1 x - 1, 4

\Rightarrow

C_{n} (- 0, 2 x - 4, 8 | - 1, 1 x - 1, 4)

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden

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