Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik II NT Aufgabe C1

Aufgabe C1.4 (3 Punkte)

Die Raute

A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}

besitzt den kleinstmöglichen Flächeninhalt

A_{m i n}

.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für

x

und den Flächeninhalt

A_{m i n}

Lösung zu Aufgabe C1.4

Flächeninhalt einer Raute

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Gegeben:

\bar{B_{n} D_{n}} = 6

LE,

\bar{A_{n} C_{n}} (x) = (0, 25 x^{2} - 2, 5 x + 12)

LE

Berechnung des Flächeninhaltes

A (x)

der Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

A (x) = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} C_{n}} \cdot \bar{B_{n} D_{n}}

A (x) = \frac{1}{2} \cdot (0, 25 x^{2} - 2, 5 x + 12) \cdot 6

A (x) = 0, 75 x^{2} - 7, 5 x + 36

A (x)

hat die Form einer nach oben geöffneten Parabel. Deshalb liegt beim Scheitelpunkt das Minimum vor.

Bestimmung des Scheitelpunktes

S

von

A (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Eine quadratische Funktion der Form

y = a x^{2} + b x + c

besitzt folgenden Scheitelpunkt

S

S (- \frac{b}{2 a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})

(siehe Formelsammlung)

S (- \frac{- 7, 5}{2 \cdot 0, 75} | 36 - \frac{(- 7, 5)^{2}}{4 \cdot 0, 75})

S (5 | 17, 25)

\Rightarrow

Bei

x = 5

hat die Raute

A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}

den kleinstmöglichen Flächeninhalt

A_{m i n} = 17, 25

FE.

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