Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.3 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt

A

der Dreiecke

P_{n} Q_{n} R

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

P_{n}

wie folgt darstellen lässt:

A (x) = [- 2 \cdot \log_{3} (x + 2) + 12]

FE.

Lösung zu Aufgabe B1.3

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Gegeben:

P_{n} (x | \log_{3} (x + 2) - 1)

Punkte

Q_{n}

haben

x + 4

als

x

-Wert und den gleichen

y

-Wert wie Punkte

P_{n}

R (6 | 5)

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Dreiecks

Wird ein beliebiges Dreieck von den Vektoren

\vec{u} = (\binom{u_{1}}{u_{2}})

und

\vec{v} = (\binom{v_{1}}{v_{2}})

aufgespannt, so lässt sich der Flächeninhalt mit einer Determinante berechnen:

A = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} |

A = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} x_{\vec{P_{n} Q_{n}}} & x_{\vec{P_{n} R}} \\ y_{\vec{P_{n} Q_{n}}} & y_{\vec{P_{n} R}} \end{matrix} |

A (x) = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} x + 4 - x & 6 - x \\ 0 & 5 - (\log_{3} (x + 2) - 1) \end{matrix} |

A (x) = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} 4 & 6 - x \\ 0 & 6 - \log_{3} (x + 2) \end{matrix} |

Schritt einblenden / ausblenden

Determinante berechnen

| \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} | = a \cdot d - b \cdot c

A (x) = \frac{1}{2} \cdot [4 \cdot (6 - \log_{3} (x + 2) - 0 \cdot (6 - x)]

A (x) = \frac{1}{2} \cdot (24 - 4 \log_{3} (x + 2))

\Rightarrow

A (x) = [12 - 2 \log_{3} (x + 2)]

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Flächeninhalt eines Dreiecks

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