Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.5 (4 Punkte)

Unter den Dreiecken

P_{n} Q_{n} R

gibt es das gleichschenklige Dreieck

P_{4} Q_{4} R

mit der Basis

[P_{4} Q_{4}]

und dem Basismittelpunkt

M

.
Zeichnen Sie das Dreieck

P_{4} Q_{4} R

in das Koordinatensystem zu 1.1 und berechnen Sie das Maß

φ

des Winkels

P_{4} R Q_{4}

. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

Lösung zu Aufgabe B1.5

Skizze

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

\bar{P_{4} Q_{4}} = 4

LE

Im gleichschenkligen Dreieck

P_{4} Q_{4} R

ist die Höhe

[R M]

auch Seitenhalbierende der Basis

[P_{4} Q_{4}]

\Rightarrow

\bar{P_{4} M} = \bar{M Q_{4}} = 2

Schritt einblenden / ausblenden

Einzeichnen

Zuerst wird die Höhe

[R M]

senkrecht nach unten eingezeichnet, ohne die Lage von

M

genau zu bestimmen.

Die Basis

[P_{4} Q_{4}]

wird dort parallel zur

x

-Achse eingezeichnet, wo der Abstand von der Höhe zum Graphen

G_{f}

genau

2

beträgt.

Winkel bestimmen

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Im gleichschenkligen Dreieck

P_{4} Q_{4} R

ist die Höhe

[R M]

auch Winkelhalbierende von

φ

.

Deshalb betrachtet man das rechtwinklige Dreieck

P_{4} M R

und versucht zuerst den Winkel

P_{4} R M = \frac{φ}{2}

zu berechnen.

Schritt einblenden / ausblenden

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\tan \frac{φ}{2} = \frac{\bar{P_{4} M}}{\bar{R M}}

\tan \frac{φ}{2} = \frac{2}{\bar{R M}}

Nun muss noch

\bar{R M}

berechnet werden.

\bar{R M} = y_{R} - y_{M} = 5 - y_{M}

(

R (6 | 5)

gegeben aus Angabe)

Wir wissen:

x_{M} = 6

(

= x_{R}

)

\Rightarrow

x_{P_{4}} = 6 - 2 = 4

|

P_{n} (x | \log_{3} (x + 2) - 1)

einsetzen

\Rightarrow

y_{P_{4}} = \log_{3} (4 + 2) - 1 = 0, 63

\Rightarrow

y_{M} = y_{P_{4}} = 0, 63

Also:

\bar{R M} = 5 - y_{M} = 5 - 0, 63

\Rightarrow

\tan \frac{φ}{2} = \frac{2}{5 - 0, 63}

|

\tan^{- 1}

\Rightarrow

\frac{φ}{2} \approx 24, 59^{\circ}

|

\cdot 2

\Rightarrow

φ = 49, 18^{\circ}

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Winkel bestimmen

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