Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.2 (2 Punkte)

Die Pfeile

\vec{A B_{1}}

und

\vec{A C_{1}}

schließen einen Winkel mit dem Maß

α

ein.
Berechnen Sie das Maß

α

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zu Aufgabe B2.2

Winkel zwischen zwei Vektoren

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Gegeben aus Teilaufgabe 1.1:

\vec{A B_{1}} = (\binom{0, 60}{3})

\vec{A C_{1}} = (\binom{- 1, 27}{0, 25})

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Den Winkel

α

zwischen zwei Vektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

berechnet man mit der Formel:

\cos α = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{\vec{| u |} \cdot \vec{| v |}}

Beispiel:

\vec{u} = (\binom{0}{3})

\vec{v} = (\binom{2}{1})

\cos α = \frac{(\binom{0}{3}) \circ (\binom{2}{1})}{| (\binom{0}{3}) | \cdot | (\binom{2}{1}) |}

\cos α = \frac{0 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{\sqrt{0^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 1^{2}}}

\frac{3}{3 \sqrt{5}}

\frac{1}{\sqrt{5}}

\Rightarrow

α = \cos^{- 1} \frac{1}{\sqrt{5}} = 63, 43^{\circ}

\cos α = \frac{\vec{A B_{1}} \circ \vec{A C_{1}}}{\bar{A B_{1}} \cdot \bar{A C_{1}}} = \frac{(\binom{0, 60}{3}) \circ (\binom{- 1, 27}{0, 25})}{\sqrt{0, 60^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{(- 1, 27)^{2} + 0, 25^{2}}}

\cos α = \frac{0, 60 \cdot (- 1, 27) + 3 \cdot 0, 25}{\sqrt{0, 60^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{(- 1, 27)^{2} + 0, 25^{2}}}

|

\cos^{- 1}

\Rightarrow

α \approx 90, 17^{\circ}

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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