Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.4 (4 Punkte)

Ermitteln Sie die Gleichung des Trägergraphen

p

der Punkte

C_{n}

und zeichnen Sie den Trägergraph

p

in das Koordinatensystem zu 2.1 ein.

Lösung zu Aufgabe B2.4

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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Gegeben:

C_{n} (2 \cos φ - 1 | \sin^{2} φ + 1)

Gesucht: Trägergraph

p : y =

Schritt einblenden / ausblenden

Trägergraphen

Die

x

-Koordinate

2 \cos φ - 1

von

C_{n}

wird nach

x

aufgelöst.

Anschließend wird der Term in die

y

-Koordinate von

C_{n}

eingesetzt.

x^{'} = 2 \cos φ - 1

|

+ 1

x^{'} + 1 = 2 \cos φ

|

: 2

\frac{x^{'} + 1}{2} = \cos φ

Dies kann jedoch noch nicht in

\sin^{2} φ + 1

eingesetzt werden (Umwandlung nötig).

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

siehe Formelsammlung

\Rightarrow

\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x

y^{'} = \sin^{2} φ + 1

y^{'} = 1 - \cos^{2} φ + 1

y^{'} = 1 - {(\frac{x^{'} + 1}{2})}^{2} + 1

y^{'} = 2 - \frac{1}{4} {(x^{'} + 1)}^{2}

\Rightarrow

p : y = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2

Skizze

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Der Trägergraph

p

ist eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel mit dem Scheitelpunkt

S (- 1 | 2)

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Skizze

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