Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.6 (5 Punkte)

Im rechtwinkligen Dreieck

A B_{5} C_{5}

ist die Strecke

[B_{5} C_{5}]

die Hypotenuse.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von

φ

Lösung zu Aufgabe B2.6

Winkel bestimmen

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Gegeben:

\vec{A B_{n}} = (\binom{3 \cos φ - 2}{3})

\vec{A C_{n}} = (\binom{2 \cos φ - 3}{\sin^{2} φ})

φ \in [0^{\circ}; 180^{\circ}]

Wenn die Strecke

[B_{5} C_{5}]

die Hypothenuse des Dreiecks ist, so liegt der rechte Winkel gegenüber beim Punkt

A

.

Deshalb stehen die Vektoren

\vec{A B_{5}}

und

\vec{A C_{5}}

senkrecht aufeinander, also

\vec{A B_{5}} ⊥ \vec{A C_{5}}

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{A B_{5}} \circ \vec{A C_{5}} = 0

(\binom{3 \cos φ - 2}{3}) \circ (\binom{2 \cos φ - 3}{\sin^{2} φ}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\binom{a_{1}}{a_{2}})

und

\vec{b} = (\binom{b_{1}}{b_{2}})

wird wie folgt dargestellt:

\vec{a} \circ \vec{b} = (\binom{a_{1}}{a_{2}}) \circ (\binom{b_{1}}{b_{2}})

=

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}

(3 \cos φ - 2) \cdot (2 \cos φ - 3) + 3 \cdot \sin^{2} φ = 0

|

Klammern auflösen

6 \cos^{2} φ - 4 \cos φ - 9 \cos φ + 6 + 3 \sin^{2} φ = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

\Rightarrow

\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x

6 \cos^{2} φ - 13 \cos φ + 6 + 3 (1 - \cos^{2} φ) = 0

6 \cos^{2} φ - 13 \cos φ + 6 + 3 - 3 \cos^{2} φ = 0

3 \cos^{2} φ - 13 \cos φ + 9 = 0

Substitution:

\cos φ = z

3 z^{2} - 13 z + 9 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

z_{1, 2} = \frac{13 \pm \sqrt{(- 13)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3}

\Rightarrow

z_{1} \approx 3, 47

und

z_{2} \approx 0, 86

Resubstitution:

\cos φ = 3, 47

und

\cos φ = 0, 86

\cos φ = 3, 47

ist nicht definiert, da der Kosinus eines Winkels immer zwischen

- 1

und

1

liegt.

\cos φ = 0, 86

|

\cos^{- 1}

φ_{1} \approx 30, 68^{\circ}

(und

φ_{2} = 329, 32^{\circ}

), da

φ \in [0^{\circ}; 180^{\circ}]

\Rightarrow

φ = 30, 68^{\circ}

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