Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.1 (3 Punkte)

Um die minütliche Ausscheidungsrate

p %

zu ermitteln, werden einem gesunden Menschen

0, 50

g Farbstoff verabreicht. Nach

40

Minuten hat seine Bauchspeicheldrüse

0, 40

g des Farbstoffs ausgeschieden.
Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der zugehörigen Funktion

f_{1}

, welche den Ausscheidungsvorgang der Bauchspeicheldrüse eines gesunden Menschen bei einer Verabreichung von

0, 50

g Farbstoff beschreibt.
[Teilergebnis:

p = 4

(auf Ganze gerundet)]

Lösung zu Aufgabe A1.1

Exponentielles Wachstum

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Gegeben ist die verabreichte Menge Farbstoff

a = 0, 50

g, die vergangene Zeit

x = 40

min und die verbliebene Menge Farbstoff

y = 0, 50

- 0, 40

= 0, 10

g.

Gesucht ist die minütliche Ausscheidungsrate

p

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Die Werte für

a

x

und

y

werden in die Gleichung

y = a \cdot {(1 - \frac{p}{100})}^{x}

eingesetzt. Anschließend wird die Gleichung nach

p

aufgelöst.

y = a \cdot {(1 - \frac{p}{100})}^{x}

0, 10 = 0, 50 \cdot {(1 - \frac{p}{100})}^{40}

|

: 0, 50

0, 20 = {(1 - \frac{p}{100})}^{40}

|

\sqrt[40]{}

\sqrt[40]{0, 20} = 1 - \frac{p}{100}

|

- 1

\sqrt[40]{0, 20} - 1 = - \frac{p}{100}

|

\cdot (- 100)

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

- 100 \cdot (\sqrt[40]{0, 20} - 1) = p

100 \cdot (- 1) \cdot (\sqrt[40]{0, 20} - 1) = p

100 \cdot (- \sqrt[40]{0, 20} + 1) = p

p = 100 \cdot (1 - \sqrt[40]{0, 20})

p \approx 4

\Rightarrow

f_{1} : y = 0, 5 \cdot {(1 - \frac{4}{100})}^{x}

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