Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe A1

Aufgabe A1.4 (3 Punkte)

Berechnen Sie die Zeit auf ganze Minuten gerundet, nach der

75 %

des verabreichten Farbstoffs bei einem gesunden Menschen ausgeschieden sein sollen. (Ausscheidungsrate:

4 %

)

Lösung zu Aufgabe A1.4

Exponentielles Wachstum

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Gegeben ist die Ausscheidungsrate

p = 4 %

und der verbliebene Farbstoff

y = 100 % - 75 %

=

25 % = 0, 25

.

Gesucht ist die Zeit

x

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Man lässt für die verabreichte Menge Farbstoff die Variable

a

stehen. Für den verbliebenen Farbstoff setzt man

y = 0, 25 \cdot a

in die Gleichung ein. Anschließend wird die Gleichung nach

x

aufgelöst.

y = a \cdot {(1 - \frac{4}{100})}^{x}

0, 25 \cdot a = a \cdot {(1 - \frac{4}{100})}^{x}

|

: a

0, 25 = 0, 96^{x}

|

\log_{0, 96}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

0, 96^{x}

kann durch den Logarithmus

\log_{0, 96}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8 \Leftrightarrow \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8 \Leftrightarrow x = \log_{2} 8

\log_{0, 96} 0, 25 = x

x \approx 34

Antwort:
Nach

34

Minuten sollten beim gesunden Menschen

75 %

des verabreichten Farbstoffs ausgeschieden sein.

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Exponentielles Wachstum

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