Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.3 (4 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte

B_{n}

der Drachenvierecke

A B_{n} C_{n} D_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

M_{n}

.
[Ergebnis:

B_{n} (2 x + 2 | 1, 5 x + 4)

]

Lösung zu Aufgabe A2.3

Drehung

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Gegeben:

A (2 | - 1)

M_{n} (x | 2 x + 3)

Gesucht: Koordinaten der Punkte

B_{n}

, d.h.

\vec{O B_{n}}

\vec{O B_{n}} = \vec{O M_{n}} \oplus \vec{M_{n} B_{n}}

Dazu muss noch

\vec{M_{n} B_{n}}

berechnet werden.

Schritt einblenden / ausblenden

Drehmatrix

\vec{M_{n} B_{n}}

entsteht durch Drehung von

\vec{M_{n} A}

um 90° und anschließender Halbierung der Länge, also

\bar{M_{n} B_{n}} = \frac{1}{2} \cdot \bar{M_{n} A}

Ist

α

der Drehwinkel einer Drehung um den Ursprung, so lautet die entsprechende Drehmatrix:

(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

\vec{M_{n} A} = (\binom{2}{- 1}) - (\binom{x}{2 x + 3}) = (\binom{2 - x}{- 2 x - 4})

\bar{M_{n} B_{n}} = \frac{1}{2} \cdot \bar{M_{n} A}

\vec{M_{n} B_{n}} = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} \cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 - x \\ - 2 x - 4 \end{matrix})]

\vec{M_{n} B_{n}} = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 - x \\ - 2 x - 4 \end{matrix})]

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

\vec{M_{n} B_{n}} = \frac{1}{2} \cdot (\binom{2 x + 4}{2 - x})

\vec{M_{n} B_{n}} = (\binom{x + 2}{- 0, 5 x + 1})

Aus Lösungsschritt 1:

\vec{O B_{n}} = \vec{O M_{n}} \oplus \vec{M_{n} B_{n}}

\vec{O B_{n}} = (\binom{x}{2 x + 3}) \oplus (\binom{x + 2}{- 0, 5 x + 1}) = (\binom{2 x + 2}{1, 5 x + 4})

\Rightarrow

B_{n} (2 x + 2 | 1, 5 x + 4)

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Drehung

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