Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.5 (5 Punkte)

Das Drachenviereck

A B_{3} C_{3} D_{3}

hat unter den Drachenvierecken

A B_{n} C_{n} D_{n}

den kleinstmöglichen Flächeninhalt.
Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Diagonalenschnittpunkts

M_{3}

und geben Sie den minimalen Flächeninhalt an.

Lösung zu Aufgabe A2.5

Lagebeziehung von Vektoren

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Der Flächeninhalt ist minimal, wenn

\bar{A M_{n}}

minimal ist.

\bar{A M_{n}}

ist minimal, wenn

\vec{A M_{n}}

senkrecht auf

g

steht, also

\vec{A M_{n}} ⊥ g

Aus Teilaufgabe 3:

\vec{M_{n} A} = (\binom{2 - x}{- 2 x - 4})

\Rightarrow

\vec{A M_{n}} = - 1 \cdot (\binom{2 - x}{- 2 x - 4}) = (\binom{x - 2}{2 x + 4})

Schritt einblenden / ausblenden

(\binom{x - 2}{2 x + 4}) \circ \vec{v_{g}} = 0

mit

\vec{v_{g}}

als Richtungsvektor von

g

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Der

x

-Wert des Richtungsvektors einer Geraden ist

1

, der

y

-Wert des Richtungsvektors ist die Steigung der Geraden.

(\binom{x - 2}{2 x + 4}) \circ (\binom{1}{2}) = 0

(x - 2) \cdot 1 + (2 x + 4) \cdot 2 = 0

x - 2 + 4 x + 8 = 0

5 x + 6 = 0

|

- 6

5 x = - 6

|

: 5

x = - 1, 2

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Da die Punkte

M

auf

g

liegen, wird die

x

-Koordinate in die Geradengleichung

y = 2 x + 3

eingesetzt.

Somit erhält man die

y

-Koordinate.

y = 2 \cdot (- 1, 2) + 3 = 0, 6

\Rightarrow

M_{3} (- 1, 2 | 0, 6)

Flächeninhalt eines Drachenvierecks

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Gesucht: minimaler Flächeninhalt

A

des Drachenvierecks

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Ein Drachenviereck mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

A_{m i n} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

A_{m i n} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A C_{3}} \cdot \bar{B_{3} D_{3}}

A_{m i n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \bar{A M_{3}} \cdot \bar{A M_{3}}

A_{m i n} = \frac{3}{4} \cdot {\bar{A M_{3}}}^{2}

\vec{A M_{3}} = (\binom{- 1, 2 - 2}{0, 6 - (- 1)}) = (\binom{- 3, 2}{1, 6})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Der Betrag (Länge) eines Vektors

\vec{v} = (\binom{x}{y})

wird wie folgt berechnet:

| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

\bar{A M_{3}} = \sqrt{(- 3, 2)^{2} + 1, 6^{2}} = \sqrt{12, 8}

A_{m i n} = \frac{3}{4} \cdot {\bar{A M_{3}}}^{2}

A_{m i n} = \frac{3}{4} \cdot {\sqrt{12, 8}}^{2} = \frac{3}{4} \cdot 12, 8 = 9, 6

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Lösungen zu:

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

Flächeninhalt eines Drachenvierecks

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