Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.

Die Raute

A B C D

mit den Diagonalen

[A C]

und

[B D]

ist die Grundfläche einer Pyramide

A B C D S

, deren Spitze

S

senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt

M

der Raute

A B C D

liegt.
Es gilt:

\bar{A C} = 14

cm ;

\bar{B D} = 10

cm;

\bar{M S} = 5

cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B2.1 (2 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide

A B C D S

, wobei die Diagonale

[A C]

auf der Schrägbildachse liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:

q = \frac{1}{2}

;

ω = 45^{\circ}

Aufgabe B2.2 (3 Punkte)

Auf der geradlinigen Verlängerung der Kante

[C S]

über den Punkt

S

hinaus liegen Punkte

E_{n}

. Die Punkte

E_{n}

sind die Spitzen von Pyramiden

A B C D E_{n}

mit den Höhen

[E_{n} F_{n}]

, deren Fußpunkte

F_{n}

auf der Halbgeraden

[M A

liegen. Die Strecken

[M S]

und

[M E_{n}]

schließen Winkel

S M E_{n}

mit dem Maß

φ

ein.
Zeichnen Sie die Pyramide

A B C D E_{1}

für

φ = 30^{\circ}

und ihre Höhe

[E_{1} F_{1}]

in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Für alle Pyramiden

A B C D E_{n}

gilt:

φ \in] 0^{\circ}; 54, 46^{\circ} [

.
Begründen Sie die obere Intervallgrenze.

Aufgabe B2.3 (3 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken

[M E_{n}]

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{M E_{n}} (φ) = \frac{4, 07}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

cm.

Aufgabe B2.4 (3 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen

V

der Pyramiden

A B C D E_{n}

in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

V (φ) = \frac{94, 97 \cdot \cos φ}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

^{3}

]

Aufgabe B2.5 (3 Punkte)

Die Pyramide

A B C D E_{2}

hat das Volumen

210

^{3}

.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

φ

Aufgabe B2.6 (3 Punkte)

Die Spitze

E_{0}

der Pyramide

A B C D E_{0}

liegt senkrecht über dem Punkt

A

.
Berechnen Sie das Maß

φ

des Winkels

S M E_{0}

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Lösungen zu:

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