Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.4 (3 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen

V

der Pyramiden

A B C D E_{n}

in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

V (φ) = \frac{94, 97 \cdot \cos φ}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

^{3}

]

Lösung zu Aufgabe B2.4

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Nebenrechnung: Höhe

[E_{n} F_{n}]

der Pyramide bestimmen

Betrachtet wird das rechtwinklige Dreieck

F_{n} M E_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\sin \underset{β}{\underset{︸}{∡ E_{n} M F_{n}}} = \frac{\bar{E_{n} F_{n}}}{\bar{M E_{n}}}

|

\cdot

\bar{M E_{n}}

\bar{E_{n} F_{n}} = \bar{M E_{n}} \cdot \sin β

\bar{E_{n} F_{n}} = \bar{M E_{n}} \cdot \sin (90^{\circ} - φ)

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswerte der Sinusfunktion

\Rightarrow

\sin (90^{\circ} - φ) = \cos (φ)

\bar{E_{n} F_{n}} = \bar{M E_{n}} \cdot \cos (φ)

Volumen einer Pyramide

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Volumen der Pyramide

A B C D E_{n}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{A B C D E_{n}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Die Grundfläche

A B C D

ist eine Raute.

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

V_{A B C D E_{n}} = \frac{1}{3} \cdot \underset{G}{\underset{︸}{\frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{B D}}} \cdot \underset{h}{\underset{︸}{\bar{E_{n} F_{n}}}}

V_{A B C D E_{n}} = \frac{1}{3} \cdot \underset{G}{\underset{︸}{\frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{B D}}} \cdot \underset{h}{\underset{︸}{\bar{M E_{n}} \cdot \cos (φ)}}

V_{A B C D E_{n}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 10 \cdot \frac{4, 07}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)} \cdot \cos φ

\Rightarrow

V_{A B C D E_{n}} \approx \frac{94, 97 \cdot \cos φ}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

^{3}

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Lösungen zu:

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Volumen einer Pyramide

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