Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.5 (3 Punkte)

Die Pyramide

A B C D E_{2}

hat das Volumen

210

^{3}

.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

φ

Lösung zu Aufgabe B2.5

Winkel bestimmen

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Aus Teilaufgabe 2.4:

V_{A B C D E_{n}} \approx \frac{94, 97 \cdot \cos φ}{\sin (125, 54^{\circ}) + φ}

^{3}

Für die Pyramide

A B C D E_{2}

gilt somit:

\frac{94, 97 \cdot \cos φ}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)} = 210

|

\cdot \sin (125, 54^{\circ} + φ)

94, 97 \cdot \cos φ = 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ} + φ)

|

Additionstheorem anwenden

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \sin β \cos α

94, 97 \cdot \cos φ = 210 \cdot [\sin (125, 54^{\circ}) \cdot \cos φ + \sin φ \cdot \cos (125, 54^{\circ})]

Schritt einblenden / ausblenden

94, 97 \cdot \cos φ = 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ}) \cdot \cos φ + 210 \cdot \sin φ \cdot \cos (125, 54^{\circ})

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

Der Term

210 \cdot \sin (125, 54^{\circ}) \cdot \cos φ

wird auf die linke Seite der Gleichung gebracht.

94, 97 \cdot \cos φ - 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ}) \cdot \cos φ = 210 \cdot \sin φ \cdot \cos (125, 54^{\circ})

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Ausklammern

Der gemeinsame Term

\cos φ

auf der linken Seite der Gleichung wird ausgeklammert.

[94, 97 - 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ})] \cdot \cos φ = 210 \cdot \sin φ \cdot \cos (125, 54^{\circ})

|

: \underset{\neq 0}{\underset{︸}{(\cos φ)}}

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Für den Winkel

φ

gilt:

φ \in] 0^{\circ}; 54, 56^{\circ} [

(siehe Teilaufgabe 2.3)

Somit ist

\cos φ \neq 0

und die Gleichung darf durch

\cos φ

geteilt werden.

94, 97 - 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ}) = 210 \cdot \cos (125, 54^{\circ}) \cdot \underset{\tan φ}{\underset{︸}{\frac{\sin φ}{\cos φ}}}

|

: \underset{\neq 0}{\underset{︸}{(210 \cdot \cos (125, 54^{\circ}))}}

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Tangens eines Winkels

Für den Tangens eines Winkels

α

gilt die Beziehung:

\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}

\tan φ = \frac{94, 97 - 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ})}{210 \cdot \cos (125, 54^{\circ})}

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Winkel berechnen

Um den Winkel

φ

aus

\tan φ = \frac{94, 97 - 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ})}{210 \cdot \cos (125, 54^{\circ})}

zu bestimmen, wird im Taschenrechner (TR) folgendes eingegeben:

TR:

\frac{94, 97 - 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ})}{210 \cdot \cos (125, 54^{\circ})}

\to

SHIFT

\to

\tan

\Rightarrow

φ = \tan^{- 1} (\frac{94, 97 - 210 \cdot \sin (125, 54^{\circ})}{210 \cdot \cos (125, 54^{\circ})}) \approx 31, 88^{\circ}

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