Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.3 (3 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken

[M E_{n}]

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{M E_{n}} (φ) = \frac{4, 07}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

cm.

Lösung zu Aufgabe B2.3

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Betrachtet wird das Dreieck

E_{n} M S

.

Nach dem Sinussatz gilt:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

E_{n} M S

gilt somit:

\frac{\bar{M E_{n}}}{\bar{M S}} = \frac{\sin ∡ E_{n} S M}{\sin ∡ M E_{n} S}

\frac{\bar{M E_{n}}}{\bar{M S}} = \frac{\sin ∡ E_{n} S M}{\sin ∡ M E_{n} S}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Im Dreieck

E_{n} M S

gilt somit:

∡ M E_{n} S + ∡ E_{n} S M + φ = 180^{\circ}

\frac{\bar{M E_{n}}}{5} = \frac{\sin (180^{\circ} - α)}{\sin (180^{\circ} - (180^{\circ} - α + φ))}

\frac{\bar{M E_{n}}}{5} = \frac{\sin (125, 54^{\circ})}{\sin (180^{\circ} - (125, 54^{\circ} + φ))}

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswerte der Sinusfunktion

Hier:

\sin (180^{\circ} - \underset{α}{\underset{︸}{(125, 54^{\circ} + φ)}}) = \sin (125, 54^{\circ} + φ)

\frac{\bar{M E_{n}}}{5} = \frac{\sin (125, 54^{\circ})}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

|

\cdot 5

\bar{M E_{n}} = \frac{5 \cdot \sin (125, 54^{\circ})}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

\Rightarrow

\bar{M E_{n}} (φ) \approx \frac{4, 07}{\sin (125, 54^{\circ} + φ)}

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