Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.4 (5 Punkte)

Die Punkte

A_{n}

können auf die Punkte

C_{n}

abgebildet werden.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Trägergraph

t

der Punkte

C_{n}

die Gleichung

y = - 2^{x - 1} + 8

besitzt.
Zeichnen Sie den Trägergraphen

t

der Punkte

C_{n}

in das Koordinatensystem zu 1.2 ein.
[Teilergebnis:

C_{n} (\log_{2} (x + 8) + 1 | - x)

]

Lösung zu Aufgabe B1.4

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

A_{n} (x | \log_{2} (x + 8))

Die Punkte

C_{n}

entstehen durch Drehung der Punkte

A_{n}

φ = - 90^{\circ}

(Drehwinkel ist negativ, da die Drehrichtung im Uhrzeigersinn ist) um den Punkt

B (0 | 0)

.

Drehmatrix aufstellen:

D = (\begin{matrix} \cos (- 90^{\circ}) & - \sin (- 90^{\circ}) \\ \sin (- 90^{\circ}) & \cos (- 90^{\circ}) \end{matrix})

D = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

Koordinaten der Punkte

C_{n}

bestimmen:

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ \log_{2} (x + 8) + 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \log_{2} (x + 8) + 1 \\ - x \end{matrix})

\Rightarrow

C_{n} (\log_{2} (8 + x) + 1 | - x)

Funktion

t

des Trägergraphen bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Trägergraphen

Der Trägergraph besteht aus allen möglichen Punkten

C_{n}

, die durch die Drehung entstehen können.
Man stellt sich dies als Bewegung vor bei der der Punkt

C_{n}

betrachtet wird.

x^{''} = \log_{2} (x + 8) + 1

nach

x

auflösen:

x^{''} = \log_{2} (x + 8) + 1

|

- 1

x^{''} - 1 = \log_{2} (x + 8)

|

entlogarithmieren

2^{x^{''} - 1} = 2^{\log_{2} (x + 8)}

2^{x^{''} - 1} = x + 8

|

- 8

x = 2^{x^{''} - 1} - 8

x = 2^{x^{''} - 1} - 8

einsetzen in

y^{''}

y^{''} = - x = - (2^{x^{''} - 1} - 8) = - 2^{x^{''} - 1} + 8

\Rightarrow

t : y = - 2^{x - 1} + 8

Skizze

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Wertetabelle anfertigen:

Trägergraph

t

in das Koordinatensystem zu 1.2 einzeichnen:

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Lösungen zu:

Aufgabe B1.1

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

Skizze

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