Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.3 (5 Punkte)

Berechnen Sie den Flächeninhalt

A

der Rechtecke

A G_{n} H_{n} D

in Abhängigkeit von

φ

. Ermitteln Sie sodann den minimalen und den maximalen Flächeninhalt mit dem jeweils zugehörigen Winkelmaß

φ

.
[Teilergebnis:

\bar{A G_{n}} (φ) = \frac{4, 24}{\sin (φ + 57, 99^{\circ})}

cm]

Lösung zu Aufgabe B2.3

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Gesucht ist der Flächeninhalt des Rechtecks

A G_{n} H_{n} D

.
Aus der Einleitung ist die Seitenlänge

\bar{A D} = 12 c m

und

\bar{A B} = 5

cm bekannt. Aus Aufgabe 2.1 der Winkelmaß

∡ C B A = 57, 99^{\circ}

. Der Winkel

∡ B A G_{n}

wird mit

φ

bezeichnet.

Seitenlänge

\bar{A G_{n}}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Im Dreieck

A G_{n} B

gilt somit:

\frac{\bar{A G_{n}}}{∡ G_{n} B A} = \frac{\bar{A B}}{∡ A G_{n} B}

\Leftrightarrow

\frac{\bar{A G_{n}}}{\bar{A B}} = \frac{\sin ∡ G_{n} B A}{\sin ∡ A G_{n} B}

\frac{\bar{A G_{n}}}{\bar{A B}} = \frac{\sin ∡ G_{n} B A}{\sin ∡ A G_{n} B}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Also hat der Winkel

∡ A G_{n} B

eine Größe von

180^{\circ} - (57, 99^{\circ} + φ)

\frac{\bar{A G_{n}}}{\bar{A B}} = \frac{\sin 57, 99^{\circ}}{\sin [180^{\circ} - (57, 99^{\circ} + φ)]}

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

Aus dem Additionstheorem

\sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \sin β

, folgt:

\sin (180^{\circ} - β) = \underset{0}{\underset{︸}{\sin 180^{\circ}}} \cdot \cos β - \underset{- 1}{\underset{︸}{\cos 180^{\circ}}} \sin β = \sin β

\frac{\bar{A G_{n}}}{5} = \frac{\sin 57, 99^{\circ}}{\sin (57, 99^{\circ} + φ)}

|

\cdot 5

\bar{A G_{n}} = \frac{4, 24}{\sin (57, 99^{\circ} + φ)}

Flächeninhalt des Rechtecks

A G_{n} H_{n} D

bestimmen:

A_{A G_{n} H_{n} D} = \bar{A D} \cdot \bar{A G_{n}}

A_{A G_{n} H_{n} D} = 12 \cdot \frac{4, 24}{\sin (57, 99^{\circ} + φ)}

\Rightarrow

A_{A G_{n} H_{n} D} = \frac{50, 88}{\sin (57, 99^{\circ} + φ)}

(cm

^{2}

)

Extremwertaufgabe

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Gesucht ist der minimale und maximale Flächeninhalt

A_{A G_{n} H_{n} D}

mit dem jeweils zugehörigen Winkelmaß

φ

A_{A G_{n} H_{n} D} = \frac{50, 88}{\sin (57, 99^{\circ} + φ)}

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Die Größe der Fläche

A_{A G_{n} H_{n} D}

wird durch einen Bruch dargestellt. Je größer der Zähler

\sin (57, 99^{\circ} + φ)

ist, desto kleiner der Wert des Bruches. Da der Sinus eines Winkels maximal den Wert

1

haben kann, ist der Flächeninhalt minimal wenn gilt:

\sin (57, 99^{\circ} + φ) = 1

Der Flächeninhalt ist minimal wenn

\sin (57, 99^{\circ} + φ) = 1

ist.

\Rightarrow

A_{m i n} = \frac{50, 88}{1} = 50, 88

^{2}

Zugehöriges Winkelmaß

φ

bestimmen:

\sin (57, 99^{\circ} + φ) = 1

\sin (57, 99^{\circ} + φ) = \sin 90^{\circ}

57, 99^{\circ} + φ = 90^{\circ}

\Rightarrow

φ = 32, 01^{\circ}

Schritt einblenden / ausblenden

Das Viereck

A G_{n} H_{n} D

hat maximalen Inhalt, wenn es denselben Inhalt hat wie das Viereck

A B E D

. Das ist der Fall, wenn

φ = 0

ist.

Der Flächeninhalt ist maximal wenn

φ = 0

ist.

\Rightarrow

A_{m a x} = \frac{50, 88}{\sin 57, 99^{\circ}} = 60

^{2}

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Flächeninhalt eines Dreiecks

Extremwertaufgabe

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