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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe
Aufgabe B2.6  (4 Punkte)
Das Volumen des Prismas A B G 4 D E H 4 beträgt 20 % des Volumens des Prismas A B C D E F .
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß φ .
Lösung zu Aufgabe B2.6
Volumen eines Prismas
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Aus der Einleitung sind gegeben: A B ¯ = 5 cm, A D ¯ = 12 cm und M C ¯ = 4 cm.
Das Volumen des Prismas A B G 4 D E H 4 beträgt 20 % des Volumens des Primas A B C D E F .
Aus Teilaufgabe B 2.5 ist bekannt, dass das Volumen eines Prismas A B G n D E H n durch V ( φ ) = 127 , 20 ⋅ sin φ sin ( φ + 57 , 99 ∘ ) (cm 3 ) gegeben ist.

Gesucht ist das zugehörige Winkelmaß φ .



Diese Aufgabe kann in 4 Schritten aufgeteilt werden:

1. Volumen des Prismas A B C D E F bestimmen.
2. Volumen des Prismas A B G 4 D E H 4 bestimmen.
3. Gleichsetzen der Volumina.
4. Auflösen der Gleichung nach φ .
Schritt einblenden / ausblenden
127 , 20 ⋅ sin φ = 24 ⋅ [ sin φ ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ ) + cos φ ⋅ sin ( 57 , 99 ∘ ) ]

127 , 20 ⋅ sin φ = 24 ⋅ sin φ ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ ) + 24 ⋅ cos φ ⋅ sin ( 57 , 99 ∘ ) | - 24 ⋅ sin φ ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ )

127 , 20 ⋅ sin φ - 24 ⋅ sin φ ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ ) = 24 ⋅ cos φ ⋅ sin ( 57 , 99 ∘ ) | sin φ ausklammern

sin φ ⋅ ( 127 , 20 - 24 ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ ) ) = 24 ⋅ cos φ ⋅ sin ( 57 , 99 ∘ ) | : cos φ

(teilen durch cos φ ist erlaubt, da cos φ = 0 nur für φ = 90 ∘ bzw. φ = 270 ∘ aber φ ∈ [ 0 ∘ ; 57 , 99 ∘ ] )

sin φ cos φ ︸ tan φ ⋅ ( 127 , 20 - 24 ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ ) ) = 24 ⋅ sin ( 57 , 99 ∘ ) | : ( 127 , 20 - 24 ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ ) )

tan φ = 24 ⋅ sin ( 57 , 99 ∘ ) 127 , 20 - 24 ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ )

φ = tan - 1 ( 24 ⋅ sin ( 57 , 99 ∘ ) 127 , 20 - 24 ⋅ cos ( 57 , 99 ∘ ) )
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ φ = 10 , 08 ∘
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Volumen eines Prismas
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