Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.5 (4 Punkte)

Der Punkt

E

ist der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius

r = \bar{E A}

. Dieser Kreis schneidet die Seite

[C D]

des Fünfecks

A B C D E

im Punkt

G

.
Zeichnen Sie den Kreisbogen

\overset{⌢}{A G}

und die Strecke

[E G]

in die Zeichnung zu 2.1 ein.
Berechnen Sie das Maß des Winkels

A E G

.
[Ergebnis:

∡ = 86, 68^{\circ}

]

Lösung zu Aufgabe B2.5

Skizze

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Innenwinkel eines Dreiecks

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Gesucht ist das Maß des Winkels

∡ A E G

.

Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben:

∡ D A E = 30^{\circ}

;

∡ E D A = ε = 48, 08^{\circ}

;

\bar{E G} = 5

cm ;

\bar{D E} = 3, 36

cm

Um das Maß des Winkels

∡ A E G

bestimmen zu können, müssen zuvor folgende Maße der Winkeln bestimmt werden:

1) Maß des Winkels

∡ A E D

2) Maß des Winkels

∡ E D G

3) Maß des Winkels

∡ D G E

4) Maß des Winkels

∡ G D E

1) Maß des Winkels

∡ A E D

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Im Dreieck

A D E

gilt somit:

∡ A E D + ∡ E D A + ∡ D A E = 180^{\circ}

∡ A E D = 180^{\circ} - (∡ E D A + ∡ D A E)

∡ A E D = 180^{\circ} - (48, 08^{\circ} + 30^{\circ})

\Rightarrow ∡ A E D = 101, 92^{\circ}

2) Maß des Winkels

∡ E D G

bestimmen:

∡ E D G = ∡ E D A + 90^{\circ}

∡ E D G = 48, 08^{\circ} + 90^{\circ}

\Rightarrow ∡ E D G = 138, 08^{\circ}

3) Maß des Winkels

∡ D G E

mit dem Sinussatz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Im Dreieck

E G D

gilt somit:

\frac{\bar{D E}}{\sin ∡ D G E} = \frac{\bar{G E}}{\sin ∡ E D G}

\Leftrightarrow

\frac{\sin ∡ D G E}{\bar{D E}} = \frac{\sin ∡ E D G}{\bar{G E}}

\frac{\sin ∡ D G E}{\bar{D E}} = \frac{\sin ∡ E D G}{\bar{G E}}

\frac{\sin ∡ D G E}{3, 36} = \frac{\sin 138, 08^{\circ}}{5} | \cdot 3, 36

\sin ∡ D G E = \frac{\sin 138, 08^{\circ}}{5} \cdot 3, 36

\Rightarrow ∡ D G E = \sin^{- 1} (\frac{\sin 138, 08^{\circ}}{5} \cdot 3, 36) \approx 26, 68^{\circ}

4) Maß des Winkels

∡ G E D

bestimmen:

∡ G E D = 180^{\circ} - (∡ E D G + ∡ D G E)

∡ G E D = 180^{\circ} - (138, 08^{\circ} + 26, 68^{\circ})

\Rightarrow ∡ G E D = 15, 24^{\circ}

Maß des Winkels

∡ A E G

bestimmen:

∡ A E G = ∡ A E D - ∡ G E D

∡ A E G = 101, 92^{\circ} - 15, 24^{\circ}

\Rightarrow ∡ A E G = 86, 68^{\circ}

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Lösungen zu:

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Aufgabe B2.3

Aufgabe B2.4

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