Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.2 (3 Punkte)

Der Graph der Funktion

f_{1}

wird durch orthogonale Affinität mit der

x

-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab

k = 2

sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor

\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ - 7 \end{matrix})

auf den Graphen der Funktion

f_{2}

abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion

f_{2}

die Gleichung

y = - 2 \cdot \log_{0, 5} x - 3

hat (

𝔾 = ℝ \times ℝ

Lösung zu Aufgabe B1.2

Orthogonale Affinität

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f_{1} : y = - \log_{0, 5} (x + 2) + 2

(\binom{x}{y}) = (\binom{x}{- \log_{0, 5} (x + 2) + 2})

Schritt einblenden / ausblenden

Orthogonale Affinität

Matrixdarstellung einer orthogonalen Affinität mit der

x

-Achse als Affinitätsachse und einem Affinitätsmaßstab

k

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) \cdot (\binom{x}{y})

Hier ist

k = 2

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) \cdot (\binom{x}{- \log_{0, 5} (x + 2) + 2})

Schritt einblenden / ausblenden

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\binom{x^{'}}{y^{'}}) = (\binom{x}{- 2 \log_{0, 5} (x + 2) + 4})

Verschiebung um einen Vektor

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(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\binom{x}{- 2 \log_{0, 5} (x + 2) + 4}) + (\binom{2}{- 7})

(\binom{x^{''}}{y^{''}}) = (\binom{x + 2}{- 2 \log_{0, 5} (x + 2) - 3})

x^{''} = x + 2

\Rightarrow

x = x^{''} - 2

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

x = x^{''} + 2

wird in

y^{''}

eingesetzt.

y^{''} = - 2 \log_{0, 5} (x^{''} - 2 + 2) - 3

y^{''} = - 2 \log_{0, 5} x^{''} - 3

Schritt einblenden / ausblenden

Anstelle von

y^{''}

und

x^{''}

wird

y

und

x

geschrieben.

\Rightarrow

f_{2} : y = - 2 \log_{0, 5} x - 3

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Orthogonale Affinität

Verschiebung um einen Vektor

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