Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.6 (4 Punkte)

Das Parallelogramm

A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}

ist eine Raute.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

A_{3}

.
[Teilergebnis:

\bar{A_{n} D_{n}} (x) = [\log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2}) + 5]

LE]

Lösung zu Aufgabe B1.6

Länge eines Vektors

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Eigenschaft der Raute:

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften einer Raute

Eine Raute hat gleich lange Seiten. Da gegenüberliegende Seiten parallel sind, kann man auch sagen, dass anliegende Seiten gleich lang sind.

Man setzt also die Länge der Seiten

[A_{n} D_{n}]

und

[D_{n} C_{n}]

gleich.

\bar{A_{n} D_{n}} = \bar{D_{n} C_{n}}

Länge der Seite

[D_{n} C_{n}]

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

\vec{D_{n} C_{n}} = (\binom{4}{3})

ist aus Teilaufgabe 1.4 bekannt.

\vec{D_{n} C_{n}} = (\binom{4}{3})

Schritt einblenden / ausblenden

Länge eines Vektors

Die Länge

\bar{a}

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

ist gegeben durch:

\bar{a} = | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\bar{D_{n} C_{n}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

Länge der Seite

[A_{n} D_{n}]

bestimmen:

\vec{A_{n} D_{n}} = \vec{D_{n}} - \vec{A_{n}}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Vektoren

\vec{A_{n}}

und

\vec{D_{n}}

sind aus Teilaufgabe 1.4 bekannt.

\vec{A_{n} D_{n}} = (\binom{x}{- \log_{0, 5} (x + 2) + 2}) - (\binom{x}{- 2 \log_{0, 5} x - 3})

\vec{A_{n} D_{n}} = (\binom{0}{2 \log_{0, 5} x - \log_{0, 5} (x + 2) + 5})

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus einer Potenz

\log_{a} (s^{t}) = t \cdot \log_{a} s

\vec{A_{n} D_{n}} = (\binom{0}{\log_{0, 5} x^{2} - \log_{0, 5} (x + 2) + 5})

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus eines Quotienten

\log_{a} (\frac{s}{t}) = \log_{a} s - \log_{a} t

\vec{A_{n} D_{n}} = (\binom{0}{\log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2}) + 5})

Schritt einblenden / ausblenden

Länge eines Vektors

Die Länge

\bar{a}

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

ist gegeben durch:

\bar{a} = | \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\bar{A_{n} D_{n}} = \sqrt{0^{2} + {[\log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2}) + 5]}^{2}}

\bar{A_{n} D_{n}} = \log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2}) + 5

x

-Wert für

A_{3}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

\bar{D_{n} C_{n}} = 5

, gilt:

\bar{A_{n} D_{n}} = 5

\log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2}) + 5 = 5

|

- 5

\log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen einer Logarithmusfunktion

\log_{a} 1 = 0

, nimmt die Logarithmusfunktion

\log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2})

den Wert Null an, wenn das Argument

\frac{x^{2}}{x + 2} = 1

ist.

\frac{x^{2}}{x + 2} = 1

|

\cdot (x + 2)

x^{2} = x + 2

|

- (x + 2)

x^{2} - x - 2 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

x_{2}

muss ausgeschlossen werden, da

- 1

nicht im Definitionsbereich von

f_{2}

liegt und somit keine gültige Lösung darstellt.

x_{1} = 2

( und

x_{2} = - 1 \notin D_{f_{2}} =] 0; \infty [

)

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

x_{1} = 2

wird in

\vec{A_{n}}

eingesetzt.

\vec{A_{3}} = (\binom{2}{- 2 \log_{0, 5} 2 - 3}) = (\binom{2}{- 1})

\Rightarrow

A_{3} (2 | - 1)

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Lösungen zu:

Aufgabe B1.1

Aufgabe B1.2

Aufgabe B1.3

Aufgabe B1.4

Aufgabe B1.5

Aufgabe B1.6

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

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