Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.4 (4 Punkte)

Punkte

A_{n} (x | - 2 \cdot \log_{0, 5} x - 3)

auf dem Graphen zu

f_{2}

und Punkte

D_{n} (x | - \log_{0, 5} (x + 2) + 2)

auf dem Graphen zu

f_{1}

haben dieselbe Abszisse

x

und sind zusammen mit Punkten

B_{n}

und

C_{n}

die Eckpunkte von Parallelogrammen

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

. Es gilt:

\vec{D_{n} C_{n}} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})

.
Zeichnen Sie das Parallelogramm

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

für

x = 1

und das Parallelogramm

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

für

x = 4

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von

x

es Parallelogramme

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

gibt. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe B1.4

Skizze

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Parallelogramme

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

und

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

einzeichnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Punkte

A_{n}

liegen auf

G_{f_{2}}

, Punkte

D_{n}

auf

G_{f_{1}}

Bewegt man sich senkrecht, von der Stelle

x = 1

aus, zu den Graphen der Funktionen, so können die Punkte

A_{1}

und

D_{1}

eingezeichnet werden.

Der Punkt

C_{1}

entspricht dann den um den Vektor

(\binom{4}{3})

verschobene Punkt

D_{1}

. Man bewegt sich vom Punkt

D_{1}

aus 4 Längeneinheiten nach rechts und 3 Längeneinheiten nach oben um

C_{1}

zu erreichen.
Gleiches gilt für den Punkt

B_{1}

(wegen der Parallelität).

Schnittpunkt zweier Funktionen

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Schnittpunkt zwischen

f_{1}

und

f_{2}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar

(x, y)

, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach

x

auf.

- \log_{0, 5} (x + 2) + 2 = - 2 \log_{0, 5} x - 3

|

+ 2 \log_{0, 5} x

2 \log_{0, 5} x - \log_{0, 5} (x + 2) + 2 = - 3

|

- 2

2 \log_{0, 5} x - \log_{0, 5} (x + 2) = - 5

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus einer Potenz

\log_{a} (s^{t}) = t \cdot \log_{a} s

\log_{0, 5} x^{2} - \log_{0, 5} (x + 2) = - 5

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus eines Quotienten

\log_{a} (\frac{s}{t}) = \log_{a} s - \log_{a} t

\log_{0, 5} (\frac{x^{2}}{x + 2}) = - 5

Schritt einblenden / ausblenden

Entlogarithmieren

Der Logarithmus

\log_{0, 5}

kann durch die Exponentialfunktion

0 {, 5}^{x}

aufgehoben werden.

Beispiel:

\log_{0, 5} x = - 2

\Rightarrow

{0, 5}^{\log_{2} x} = {0, 5}^{- 2}

\Rightarrow

x = 4

\frac{x^{2}}{x + 2} = \underset{= 32}{\underset{︸}{0, 5^{- 5}}}

|

\cdot (x + 2)

x^{2} = 32 x + 64

|

- 32 x - 64

x^{2} - 32 x + 64 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Lösungen

x_{1}

und

x_{2}

können entweder über die Mitternachtsformel oder den Taschenrechner ermittelt werden.

Mitternachtsformel:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{a^{2} - 4 a c}}{2 a}

x_{2}

muss ausgeschlossen werden, da

- 1, 89

nicht im Definitionsbereich von

f_{2}

liegt und somit keine gültige Lösung darstellt.

x_{1} = 33, 89

( und

x_{2} = - 1, 89 \notin D_{f_{2}} =] 0; \infty [

)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Definitionsbereich von

f_{2}

ist

D_{f_{2}} =] 0; \infty [

. Ein Punkt

A_{n}

(der per Definition auf

f_{2}

liegt) kann es nur geben, wenn

x > 0

ist.

An der Stelle

x = 33, 89

, wo sich die Graphen von

f_{1}

und

f_{2}

schneiden, liegen die Punkte

A_{n}

und

D_{n}

aufeinander und es gibt somit kein Parallelogramm.
Es muss also auch

x < 33, 89

gelten.

Für

x \in] 0; 33, 89 [

gibt es Prallelogramme

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

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