Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.

Die Raute

A B C D

mit den Diagonalen

[A C]

und

[B D]

ist die Grundfläche einer Pyramide

A B C D S

, deren Spitze

S

senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt

M

der Raute

A B C D

liegt. Es gilt:

\bar{A C} = 10

cm ;

\bar{B D} = 12

cm ;

∡ C A S = 60^{\circ}

.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B2.1 (3 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide

A B C D S

, wobei die Strecke

[A C]

auf der Schrägbildachse und der Punkt

A

links vom Punkt

C

liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:

q = \frac{1}{2}

;

ω = 45^{\circ}

.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke

[M S]

.
[Ergebnis:

\bar{M S} = 8, 66

cm]

Aufgabe B2.2 (1 Punkt)

Parallele Ebenen zur Grundfläche der Pyramide

A B C D S

schneiden die Kanten der Pyramide

A B C D S

in den Punkten

E_{n} \in [A S]

F_{n} \in [B S]

G_{n} \in [C S]

und

H_{n} \in [D S]

, wobei die Winkel

E_{n} M A

das Maß

φ

mit

φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ} [

haben. Die Rauten

E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}

sind die Grundflächen von Pyramiden

E_{n} F_{n} G_{n} H_{n} M

mit der Spitze

M

.
Zeichnen Sie die Pyramide

E_{1} F_{1} G_{1} H_{1} M

für

φ = 55^{\circ}

in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Aufgabe B2.3 (2 Punkte)

Berechnen Sie die Länge der Seitenkanten

[E_{n} M]

der Pyramiden

E_{n} F_{n} G_{n} H_{n} M

in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

\bar{E_{n} M} (φ) \frac{4, 33}{\sin (60^{\circ} + φ)}

]

Aufgabe B2.4 (3 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Diagonalen

[E_{n} G_{n}]

der Rauten

E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{E_{n} G_{n}} (φ) = \frac{8, 66 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)}

cm.

Aufgabe B2.5 (5 Punkte)

Die Punkte

E_{n}

F_{n}

G_{n}

H_{n}

M

und

S

sind die Eckpunkte von Körpern, die sich jeweils aus zwei Pyramiden zusammensetzen.
Begründen Sie, dass sich das Volumen

V

dieser Körper wie folgt berechnen lässt:

V = \frac{1}{3} \cdot A_{Rauten E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}} \cdot \bar{M S}

.
Berechnen Sie sodann das Volumen

V

dieser Körper in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

V (φ) = 129, 87 \cdot {(\frac{\cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)})}^{2}

^{3}

]

Aufgabe B2.6 (3 Punkte)

Für den Körper mit den Eckpunkten

E_{0}

F_{0}

G_{0}

H_{0}

M

und

S

gilt:

\bar{E_{0} M}

.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens dieses Körpers am Volumen der Pyramide

A B C D S

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Lösungen zu:

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Aufgabe B2.2

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