Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.4 (3 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Diagonalen

[E_{n} G_{n}]

der Rauten

E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{E_{n} G_{n}} (φ) = \frac{8, 66 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)}

cm.

Lösung zu Aufgabe B2.4

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Sei

N_{n}

der Mittelpunkt der Strecke

[E_{n} G_{n}]

. Betrachtet wird das rechtwinklige Dreieck

M M^{'} E_{n}

.

Für die Länge der Strecke

[E_{n} G_{n}]

gilt:

\bar{E_{n} G_{n}} = 2 \cdot \bar{E_{n} N_{n}}

Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben:

\bar{E_{n} M} (φ) = \frac{4, 33}{\sin (60^{\circ} + φ)}

φ

ist das Maß des Winkels

∡ E_{n} M A

Länge der Seite

[E_{n} G_{n}]

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Im rechtwinkligen Dreieck

M M^{'} E_{n}

gilt somit:

\sin ∡ M^{'} M E_{n} = \frac{\bar{E_{n} M^{'}} (φ)}{\bar{E_{n} M} (φ)}

\sin ∡ N_{n} M E_{n} = \frac{\bar{E_{n} N_{n}} (φ)}{\bar{E_{n} M} (φ)}

\sin (90^{\circ} - φ) = \frac{\bar{E_{n} N_{n}} (φ)}{\bar{E_{n} M} (φ)}

Schritt einblenden / ausblenden

Additionstheorem

Aus dem Additionstheorem

\sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \sin β

, folgt:

\sin (90^{\circ} - β) = \underset{1}{\underset{︸}{\sin 90^{\circ}}} \cdot \cos β - \underset{0}{\underset{︸}{\cos 90^{\circ}}} \sin β = \cos β

\cos φ = \frac{\bar{E_{n} N_{n}} (φ)}{\bar{E_{n} M} (φ)}

| \cdot \bar{E_{n} M} (φ)

\bar{E_{n} N_{n}} (φ) = \cos φ \cdot \bar{E_{n} M} (φ)

\bar{E_{n} N_{n}} (φ) = \cos φ \cdot \frac{4, 33}{\sin (60^{\circ} + φ)}

\Rightarrow \bar{E_{n} G_{n}} (φ) = 2 \cdot \cos φ \cdot \frac{4, 33}{\sin (60^{\circ} + φ)}

\Rightarrow \bar{E_{n} G_{n}} (φ) = \frac{8, 66 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)}

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Lösungen zu:

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