Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.5 (5 Punkte)

Die Punkte

E_{n}

F_{n}

G_{n}

H_{n}

M

und

S

sind die Eckpunkte von Körpern, die sich jeweils aus zwei Pyramiden zusammensetzen.
Begründen Sie, dass sich das Volumen

V

dieser Körper wie folgt berechnen lässt:

V = \frac{1}{3} \cdot A_{Rauten E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}} \cdot \bar{M S}

.
Berechnen Sie sodann das Volumen

V

dieser Körper in Abhängigkeit von

φ

.
[Ergebnis:

V (φ) = 129, 87 \cdot {(\frac{\cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)})}^{2}

^{3}

]

Lösung zu Aufgabe B2.5

Volumen einer Pyramide

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Benötigte Angaben aus vorherigen Aufgaben:

\bar{A C} = 10

\bar{B D} = 12

\bar{M S} = 8, 66

\bar{E_{n} G_{n}} = \frac{8, 66 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)}

cm

Sei

N_{n}

der Diagonalschnittpunkt der Raute

E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}

Das Volumen des Körpers setzt sich zusammen aus der Summe der Volumina der Pyramiden mit Grundfläche die Raute

E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}

und Höhe

[M N_{n}]

bzw.

[N_{n} S]

V_{Körper} = V_{Pyramide mit Spitze S} + V_{Pyramide mit Spitze M}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{Körper} = \frac{1}{3} \cdot A_{Raute E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}} \cdot \bar{N_{n} S} + \frac{1}{3} \cdot A_{Raute E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}} \cdot \bar{M N_{n}}

V_{Körper} = \frac{1}{3} \cdot A_{Raute E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}} \cdot \underset{\bar{M S}}{\underset{︸}{(\bar{N_{n} S} + \bar{M N_{n}})}}

\Rightarrow V_{Körper} = \frac{1}{3} \cdot A_{Raute E_{n} F_{n} G_{n} H_{n}} \cdot \bar{M S}

Volumen des Körpers in Abhängigkeit von

φ

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

V_{Körper} (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \bar{E_{n} G_{n}} \cdot \bar{F_{n} H_{n}} \cdot \bar{M S}

V_{Körper} (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8, 66 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)} \cdot \bar{F_{n} H_{n}} \cdot 8, 66

\bar{F_{n} H_{n}}

durch zweimaliges Anwenden des Vierstreckensatzes bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vierstreckensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen:

1.

\frac{a}{x} = \frac{b}{y}

und

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

\frac{v}{w} = \frac{a}{x}

bzw.

\frac{v}{w} = \frac{b}{y}

Betrachtet man nun das Dreieck

A M S

, so gilt auch nach dem zweiten Streckensatz:

\frac{\bar{E_{n} N_{n}}}{\bar{A M}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}}

Ersetzt man

\bar{E_{n} N_{n}}

und

\bar{A M}

durch

\frac{1}{2} \cdot \bar{E_{n} G_{n}}

und

\frac{1}{2} \cdot \bar{A C}

, so lautet obige Gleichung:

\frac{\frac{1}{2} \cdot \bar{E_{n} G_{n}}}{\frac{1}{2} \cdot \bar{A C}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}} \Leftrightarrow \frac{\bar{E_{n} G_{n}}}{\bar{A C}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}}

Vierstreckensatz im Strahl aus

S

durch

A

und

M

\frac{\bar{E_{n} G_{n}}}{\bar{A C}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}}

Schritt einblenden / ausblenden

Vierstreckensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen:

1.

\frac{a}{x} = \frac{b}{y}

und

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

\frac{v}{w} = \frac{a}{x}

bzw.

\frac{v}{w} = \frac{b}{y}

Betrachtet man nun das Dreieck

A M S

, so gilt auch nach dem zweiten Streckensatz:

\frac{\bar{F_{n} N_{n}}}{\bar{B M}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}}

Ersetzt man

\bar{F_{n} N_{n}}

und

\bar{B M}

durch

\frac{1}{2} \cdot \bar{F_{n} H_{n}}

und

\frac{1}{2} \cdot \bar{B D}

, so lautet obige Gleichung:

\frac{\frac{1}{2} \cdot \bar{F_{n} H_{n}}}{\frac{1}{2} \cdot \bar{B D}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}} \Leftrightarrow \frac{\bar{F_{n} H_{n}}}{\bar{B D}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}}

Vierstreckensatz im Strahl aus

S

durch

B

und

M

\frac{\bar{F_{n} H_{n}}}{\bar{B D}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}}

Aus den beiden Gleichungen folgt:

{\begin{matrix} \frac{\bar{E_{n} G_{n}}}{\bar{A C}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}} \\ \frac{\bar{F_{n} H_{n}}}{\bar{B D}} = \frac{\bar{N_{n} S}}{\bar{M S}} \end{matrix} \Rightarrow \frac{\bar{F_{n} H_{n}}}{\bar{B D}} = \frac{\bar{E_{n} G_{n}}}{\bar{A C}}

\frac{\bar{F_{n} H_{n}}}{\bar{B D}} = \frac{\bar{E_{n} G_{n}}}{\bar{A C}}

| \cdot \bar{B D}

\bar{F_{n} H_{n}} = \bar{E_{n} G_{n}} \cdot \frac{\bar{B D}}{\bar{A C}}

\bar{F_{n} H_{n}} = \frac{8, 66 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)} \cdot \frac{12}{10}

\Rightarrow \bar{F_{n} H_{n}} = \frac{10, 39 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)}

Einsetzen von

\bar{F_{n} H_{n}}

V_{Körper} (φ)

V_{Körper} (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8, 66 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)} \cdot \frac{10, 39 \cdot \cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)} \cdot 8, 66

^{3}

\Rightarrow V_{Körper} (φ) \approx 129, 87 \cdot (\frac{\cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)})

^{3}

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Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

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