Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.6 (3 Punkte)

Für den Körper mit den Eckpunkten

E_{0}

F_{0}

G_{0}

H_{0}

M

und

S

gilt:

\bar{E_{0} M}

.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens dieses Körpers am Volumen der Pyramide

A B C D S

Lösung zu Aufgabe B2.6

Volumen einer Pyramide

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Benötigte Angaben aus vorherigen Aufgaben:

\bar{A C} = 10

\bar{A D} = 12

\bar{M S} = 8, 66

\bar{E_{n} M} (φ) = \frac{4, 33}{\sin (60^{\circ} + φ)}

V (φ) = 129, 87 \cdot {(\frac{\cos φ}{\sin (60^{\circ} + φ)})}^{2}

^{3}

Winkel

φ

bestimmen:

\bar{E_{0} M} = 4, 33

4, 33 = \frac{4, 33}{\sin (60^{\circ} + φ)}

\Rightarrow

\sin (60^{\circ} + φ) = 1

\sin (60^{\circ} + φ) = 1

\Leftrightarrow

\sin (60^{\circ} + φ) = \underset{1}{\underset{︸}{\sin (90^{\circ})}}

60^{\circ} + φ = 90^{\circ}

\Rightarrow φ = 30^{\circ}

Volumen des Körpers

E_{0} F_{0} G_{0} H_{0} M S

bestimmen:

V_{Körper} = V (φ = 30^{\circ})

V_{Körper} = 129, 87 \cdot {(\frac{\cos 30^{\circ}}{\sin (60^{\circ} + 30^{\circ})})}^{2}

^{3}

\Rightarrow V_{Körper} \approx 97, 40

^{3}

Volumen der Pyramide

A B C D S

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{Pyramide A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot A_{Raute A B C D} \cdot \bar{M S}

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt einer Raute

Eine Raute mit Diagonalen

e

und

f

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

V_{Pyramide A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{M S}

V_{Pyramide A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot 8, 66

^{3}

\Rightarrow V_{Pyramide A B C D S} = 173, 2

^{3}

Prozentrechnung

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Prozentualen Anteil des Volumens des Körpers

E_{0} F_{0} G_{0} H_{0} M S

am Volumen der Pyramide

A B C D S

bestimmen:

\frac{V_{Körper}}{V_{Pyramide A B C D S}} = \frac{97, 40}{173, 2} \cdot 100 % \approx 56 %

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

Prozentrechnung

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