Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.1 (4 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel

p

die Gleichung

y = - 0, 25 x^{2} + x + 7

hat.
Zeichnen Sie die Parabel

p

für

x \in [- 2; 8]

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

- 3 \leq x \leq 9

;

- 2 \leq y \leq 9

Lösung zu Aufgabe B1.1

Scheitelpunktform einer Parabel

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p

hat den Scheitel

S (2 | 8)

und verläuft durch den Punkt

C (4 | 7)

.

Parameter der Scheitelpunktform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Scheitelform der Parabel

Die Scheitelpunktform (kurz: Scheitelform) ist die Funktionsgleichung einer Parabel. Sie hat die Form:

y = a \cdot {(x - x_{S})}^{2} + y_{S}

x_{S}

und

y_{S}

sind die Koordinaten des Scheitels

S

der Parabel:

S (x_{S} | y_{S})

a

ist ein Parameter der einen Wert verschieden von Null hat.

Scheitelpunkt

S

einsetzen:

S (2 | 8)

\Rightarrow

y = a \cdot (x - 2)^{2} + 8

Punkt

C

einsetzen:

C (4 | 7)

\Rightarrow

7 = a \cdot (4 - 2)^{2} + 8

7 = 4 a \cdot + 8

|

- 8

- 1 = 4 a

|

: 4

- \frac{1}{4} = a

\Rightarrow

a = - 0, 25

Scheitelpunktform der Parabel

p

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Der Wert

a = - 0, 25

wird in die Gleichung

y = a \cdot (x - 2)^{2} + 8

eingesetzt.

p : y = - 0, 25 \cdot (x - 2)^{2} + 8

Markante Eigenschaften von Funktionen

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Scheitelpunktform auflösen (ausmultiplizieren):

y = - 0, 25 \cdot (x - 2)^{2} + 8

Schritt einblenden / ausblenden

Binomische Formel

Der Ausdruck

(x - 2)^{2}

wird mit der zweiten binomischen Formel aufgelöst:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(x - 2)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = x^{2} - 4 x + 4

y = - 0, 25 \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + 8

y = - 0, 25 x^{2} + x - 1 + 8

y = - 0, 25 x^{2} + x + 7

(allgemeine Form)

Wertetabelle

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Wertetabelle für

p

erstellen:

Skizze

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