Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.5 (4 Punkte)

Im Dreieck

A_{3} B_{3} C

ist der Punkt

F_{3} \in [A_{3} B_{3}]

der Fußpunkt der Höhe

[F_{3} C]

. Der Winkel

F_{3} C B_{3}

hat das Maß

32^{\circ}

.
Zeichnen Sie das Dreieck

A_{3} B_{3} C

in das Koordinatensystem zu 1.1 ein und berechnen Sie sodann die

x

-Koordinate des Punktes

B_{3}

Lösung zu Aufgabe B1.5

Skizze

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Dreieck

A_{3} B_{3} C

einzeichnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Man zeichnet eine Gerade ein die durch den Punkt

C

geht und einen Winkel von

32^{\circ}

mit der Höhe

[F_{3} C]

bildet.
Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Parabel ist der Punkt

B_{3}

.
Ausgehend vom Punkt

B_{3}

bewegt man sich 6 LE nach links (entlang der

x

-Achse) um den Punkt

A_{3}

einzuzeichnen.

Steigung einer linearen Funktion

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Steigung

m

der Geraden

g

(Gerade durch

C

und

B_{3}

) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Stetigkeit einer Funktion

Die Steigung einer Geraden entspricht dem Tangens des Winkels

α

der die Gerade mit der (positiven)

x

-Achse einschließt.

Im Dreieck

F_{3} B_{3} C

ist wegen der Winkelsumme in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel

∡ C B_{3} F_{3}

gleich

90^{\circ} - 32^{\circ}

.

Dies entspricht auch dem Winkel der die Gerade

g

mit der (negativen)

x

-Achse einschließt.

Es folgt:

α = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 32^{\circ})

m = \tan (180^{\circ} - (90^{\circ} - 32^{\circ}))

m = \tan (122^{\circ}) \approx - 1, 6

Geradengleichung aufstellen

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Gleichung der Geraden

g

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Jede Gerade

g

hat die Geradengleichung

y = m \cdot x + t

, wobei

m

die Steigung ist und

t

der

y

-Achsenabschnitt.

Hier ist

m = - 1, 6

g : y = - 1, 6 x + t

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Die Gerade

g

verläuft durch den Punkt

C

.
Die Koordinaten von

C

werden in die Geradengleichung eingesetzt und anschließen wird nach

t

aufgelöst.

C (4 | 7) \in g

\Rightarrow

7 = - 1, 6 \cdot 4 + t

7 = - 6, 4 + t

|

+ 6, 4

t = 13, 4

\Rightarrow

g : y = - 1, 6 x + 13, 4

Schnittpunkt zweier Funktionen

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Parabel

p

mit Gerade

g

schneiden:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Schnittpunkte zwischen der Parabel

p

und der Geraden

g

entsprechen dem Punkt

C

und dem Punkt

B_{3}

(der zu bestimmen ist).

p \cap g

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Um die Schnittpunkte zweier Funktionen

f (x)

und

g (x)

zu bestimmen, setzt man die Funktionen gleich

f (x) = g (x)

und löst anschließend nach

x

auf.

- 0, 25 x^{2} + x + 7 = - 1, 6 x + 13, 4

|

+ 1, 6 x - 13, 4

- 0, 25 x^{2} + 2, 6 x - 6, 4 = 0

|

Mitternachtsformel anwenden

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- 2, 6 \pm \sqrt{(2, 6)^{2} - 4 \cdot (- 0, 25) \cdot (- 6, 4)}}{2 \cdot (- 0, 25)}

x_{1, 2} = \frac{- 2, 6 \pm \sqrt{6, 76 - 6, 4}}{- 0, 5}

(

x_{1} = 4

)

und

x_{2} = 6, 4

x_{1} = 4

wird ausgeschlossen, da der Punkt

C (4 | 7)

bereits bekannt ist.

\Rightarrow

x_{B_{3}} = 6, 4

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Lösungen zu:

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Aufgabe B1.3

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Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Steigung einer linearen Funktion

Geradengleichung aufstellen

Schnittpunkt zweier Funktionen

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