Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B1

Aufgabe B1.3 (2 Punkte)

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt

A

der Dreiecke

A_{n} B_{n} C

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

B_{n}

gilt:

A (x) = (0, 75 x^{2} - 3 x)

FE .

Lösung zu Aufgabe B1.3

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Aus den vorherigen Aufgaben:

C (4 | 7)

B_{n} (x | - 0, 25 x^{2} + x + 7)

Flächeninhalt

A

bestimmen:

A = \frac{1}{2} \cdot \underset{Grundseite}{\underset{︸}{\bar{A_{n} B_{n}}}} \cdot \overset{Höhe}{\overset{︷}{h}}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Höhe des Dreiecks

A_{n} B_{n} C

mit der Grundseite

[A_{n} B_{n}]

ist gleich dem Abstand der Seite

[A_{n} B_{n}]

zum Punkt

C

.

Dies entspricht der Differenz der

y

-Koordinaten der Punkte

C

und

B_{n}

\Rightarrow

h = y_{C} - y_{B_{n}}

A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot [y_{C} - y_{B_{n}}]

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Flächeninhalt ist nun abhängig von

x

, deswegen schreibt man dann

A (x)

A (x) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot [7 - (- 0, 25 x^{2} + x + 7)]

\Rightarrow

A (x) = (0, 75 x^{2} - 3 x)

FE (Flächeneinheiten)

Alternative Lösung

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Der Flächeninhalt des Dreiecks kann auch mit Hilfe des Kreuzproduktes von Vektoren bestimmt werden:

\vec{B_{n} A} = \vec{A} - \vec{B_{n}} = (\binom{x - 6}{y_{B_{n}}}) - (\binom{x}{y_{B_{n}}}) = (\binom{- 6}{0})

\vec{B_{n} C} = \vec{C} - \vec{B_{n}} = (\binom{4}{7}) - (\binom{x}{- 0, 25 x^{2} + x + 7}) = (\binom{4 - x}{0, 25 x^{2} - x})

A (x) = \frac{1}{2} \cdot | \vec{B_{n} C} \times \vec{B_{n} A} | = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} (4 - x) & - 6 \\ (0, 25 x^{2} + x) & 0 \end{matrix} |

A (x) = \frac{1}{2} \cdot [(4 - x) \cdot 0 - (- 6) \cdot (0, 25 x^{2} + x)]

A (x) = (0, 75 x^{2} - 3 x)

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Alternative Lösung

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